与えられた各行列式を因数分解した形で表現すること。

はい、承知いたしました。行列式の因数分解の問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた各行列式を因数分解した形で表現すること。

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & a+b & ab \\ 1 & b+c & bc \\ 1 & c+a & ca \end{vmatrix}$

1行目を基準にして2行目、3行目から1行目を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & a+b & ab \\ 0 & c-a & bc-ab \\ 0 & c-b & ca-ab \end{vmatrix}$

行列式を計算します。

$1 \cdot \begin{vmatrix} c-a & bc-ab \\ c-b & ca-ab \end{vmatrix} = (c-a)(ca-ab) - (c-b)(bc-ab)$

$= c^2a - abc - a^2c + a^2b - bc^2 + abc + ab^2 - a^2b$

$= c^2a - a^2c - bc^2 + ab^2$

$= a(c^2 - a c) + b(a^2 - c^2)$

$= a(c-a)(c+a) + b(a-c)(a+c)$

$= a(c^2-ac) + b(a^2-bc)$

$= ac(c-a)-bc(c-b)$

$=(c-a)(c-b)(b-a)$

$= (c-a)(ca-ab) - (c-b)(bc-ab)$

$= c^2a - abc - a^2c + a^2b - bc^2 + abc + ab^2 - a^2b$

$= c^2a - a^2c - bc^2 + ab^2$

$= (a-b)(b-c)(c-a)$

(2)

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

1列目を基準にして2列目、3列目から1列目を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \\ a^3 & b^3-a^3 & c^3-a^3 \end{vmatrix}$

$= 1 \cdot \begin{vmatrix} b^2-a^2 & c^2-a^2 \\ b^3-a^3 & c^3-a^3 \end{vmatrix}$

$= (b^2-a^2)(c^3-a^3) - (c^2-a^2)(b^3-a^3)$

$= (b-a)(b+a)(c-a)(c^2+ca+a^2) - (c-a)(c+a)(b-a)(b^2+ba+a^2)$

$= (b-a)(c-a)[(b+a)(c^2+ca+a^2) - (c+a)(b^2+ba+a^2)]$

$= (b-a)(c-a)[bc^2 + bca + ba^2 + ac^2 + a^2c + a^3 - cb^2 - cba - ca^2 - ab^2 - a^2b - a^3]$

$= (b-a)(c-a)[bc^2 - cb^2 + ba^2 - ab^2 + ac^2 - ca^2]$

$= (b-a)(c-a)[bc(c-b) + a^2(b-a) + a(c^2-b^2)]$

$= (b-a)(c-a)[bc(c-b) - a^2(a-b) + a(c-b)(c+b)]$

$= (b-a)(c-a)[bc(c-b) - a^2(b-a) + ac^2-ab^2]$

$= (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$

(4)

$\begin{vmatrix} 1 & x & 2 \\ 4 & -1 & x \\ x & 3 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 \cdot 0 - x \cdot 3) - x \cdot (4 \cdot 0 - x \cdot x) + 2 \cdot (4 \cdot 3 - (-1) \cdot x)$

$= -3x + x^3 + 2(12+x) = -3x + x^3 + 24 + 2x = x^3 - x + 24$

(5)

$\begin{vmatrix} x+2 & x-2 & 4 \\ 2 & -1 & x \\ x+1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (x+2) \cdot (-3-x) - (x-2)(6-x(x+1)) + 4(2+x+1)$

$= (x+2)(-3-x) - (x-2)(6-x^2-x) + 4(3+x) = -x^2 -5x -6 - (6x - x^3 - x^2 - 12 + 2x^2 + 2x) + 12 + 4x$

$= -x^2 -5x -6 - (8x - x^3 + x^2 - 12 ) + 12 + 4x = -x^2 -5x -6 -8x + x^3 - x^2 + 12 + 12 + 4x$

$= x^3 -2x^2 -9x +18 = (x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3)$

(6)

$\begin{vmatrix} 3+2x & 1 & 2 \\ x & 4+x & 2 \\ x & 1 & 5+x \end{vmatrix} = (3+2x)((4+x)(5+x) - 2) - (x(5+x) - 2x) + 2(x - x(4+x))$

$= (3+2x)(20+9x+x^2-2) - (5x + x^2 - 2x) + 2(x - 4x-x^2)$

$= (3+2x)(18+9x+x^2) - (3x + x^2) + 2(-3x -x^2)$

$= 54 + 27x+ 3x^2 + 36x+18x^2 + 2x^3 - 3x - x^2 -6x -2x^2 = 2x^3+18x^2+54x+54 -3x-x^2-6x-2x^2$

$= 2x^3+18x^2+54x-3x-6x+54-3x^2 = 2x^3+15x^2-15x+54$

(7)

$\begin{vmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$

各行に b を足すと、全ての行の和は a+3b となります。

したがって、行列に a+3b を共通因子としてもつことを期待します。

1行目から2行目、3行目、4行目を引く

$\begin{vmatrix} a-b & b-a & 0 & 0 \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$

(4) $x^3 - x + 24$

(5) $(x-2)(x-3)(x+3)$

(7) $(a-b)^3(a+3b)$

(6) $2x^3+15x^2-15x+54$