与えられた不等式を解く問題です。 (1) $|x - 4| < 3x$ (2) $|x - 1| + 2|x - 3| \le 11$

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。

(1) $|x - 4| < 3x$

(2) $|x - 1| + 2|x - 3| \le 11$

2. 解き方の手順

(1) $|x - 4| < 3x$ を解きます。

絶対値を含む不等式なので、場合分けを行います。

(i) $x \ge 4$ のとき、$x - 4 \ge 0$ なので、

$x - 4 < 3x$

$-4 < 2x$

$x > -2$

$x \ge 4$ かつ $x > -2$ なので、$x \ge 4$。

(ii) $x < 4$ のとき、$x - 4 < 0$ なので、

$-(x - 4) < 3x$

$-x + 4 < 3x$

$4 < 4x$

$x > 1$

$x < 4$ かつ $x > 1$ なので、$1 < x < 4$。

(i) と (ii) より、$x \ge 4$ または $1 < x < 4$ なので、$x > 1$。

(2) $|x - 1| + 2|x - 3| \le 11$ を解きます。

絶対値が2つあるので、場合分けを行います。

(i) $x \ge 3$ のとき、$x - 1 > 0$ かつ $x - 3 \ge 0$ なので、

$x - 1 + 2(x - 3) \le 11$

$x - 1 + 2x - 6 \le 11$

$3x - 7 \le 11$

$3x \le 18$

$x \le 6$

$x \ge 3$ かつ $x \le 6$ なので、$3 \le x \le 6$。

(ii) $1 \le x < 3$ のとき、$x - 1 \ge 0$ かつ $x - 3 < 0$ なので、

$x - 1 + 2(-(x - 3)) \le 11$

$x - 1 - 2x + 6 \le 11$

$-x + 5 \le 11$

$-x \le 6$

$x \ge -6$

$1 \le x < 3$ かつ $x \ge -6$ なので、$1 \le x < 3$。

(iii) $x < 1$ のとき、$x - 1 < 0$ かつ $x - 3 < 0$ なので、

$-(x - 1) + 2(-(x - 3)) \le 11$

$-x + 1 - 2x + 6 \le 11$

$-3x + 7 \le 11$

$-3x \le 4$

$x \ge -\frac{4}{3}$

$x < 1$ かつ $x \ge -\frac{4}{3}$ なので、$-\frac{4}{3} \le x < 1$。

(i), (ii), (iii) より、$-\frac{4}{3} \le x < 1$ または $1 \le x < 3$ または $3 \le x \le 6$ なので、$-\frac{4}{3} \le x \le 6$。

3. 最終的な答え

(1) $x > 1$

(2) $-\frac{4}{3} \le x \le 6$