画像に掲載されている数学の問題のうち、問題4を解きます。 問題4は、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ に関する以下の問いに答えるものです。 (1) $|A|$ を求めよ。 (2) $A$ の $(i, j)$ 余因子を $\tilde{a}_{ij}$ と表すとき、$\tilde{a}_{11}$ と $\tilde{a}_{32}$ を求めよ。 (3) $A^{-1}$ の $(1,1)$ 成分と $(2,3)$ 成分を求めよ。

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題のうち、問題4を解きます。

問題4は、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ に関する以下の問いに答えるものです。

(1) $|A|$ を求めよ。

(2) $A$ の $(i, j)$ 余因子を $\tilde{a}_{ij}$ と表すとき、$\tilde{a}_{11}$ と $\tilde{a}_{32}$ を求めよ。

(3) $A^{-1}$ の $(1,1)$ 成分と $(2,3)$ 成分を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|A|$ を求める。

$|A|$ は行列 $A$ の行列式です。行列式は以下のように計算できます。

\begin{align*}

|A| &= 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\

&= 2(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 3(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) \\

&= 2(-1) - 1(1) + 3(2 + 1) \\

&= -2 - 1 + 3(3) \\

&= -3 + 9 \\

&= 6

\end{align*}

(2) $\tilde{a}_{11}$ と $\tilde{a}_{32}$ を求める。

$\tilde{a}_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。余因子は以下のように計算できます。

$\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$, where $M_{ij}$ is the minor of $a_{ij}$.

$\tilde{a}_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)^{2} (-1 - 0) = 1 \cdot (-1) = -1$

$\tilde{a}_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{5} (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) = -1(0 - 3) = -1(-3) = 3$

(3) $A^{-1}$ の $(1,1)$ 成分と $(2,3)$ 成分を求める。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$, where $\text{adj}(A)$ is the adjugate of $A$.

The adjugate of $A$ is the transpose of the cofactor matrix of $A$.

Therefore, $A^{-1}_{ij} = \frac{\tilde{a}_{ji}}{|A|}$.

$A^{-1}_{(1,1)} = \frac{\tilde{a}_{11}}{|A|} = \frac{-1}{6} = -\frac{1}{6}$

$A^{-1}_{(2,3)} = \frac{\tilde{a}_{32}}{|A|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = 6$

(2) $\tilde{a}_{11} = -1$, $\tilde{a}_{32} = 3$

(3) $A^{-1}$ の $(1,1)$ 成分は $-\frac{1}{6}$、$(2,3)$ 成分は $\frac{1}{2}$