初項が70、公差が-4である等差数列{an}について、 (1) 第何項が初めて負の数になるかを求める。 (2) 初項から第何項までの和が最大になるか、またその時の和を求める。

1. 問題の内容

初項が70、公差が-4である等差数列{an}について、

(1) 第何項が初めて負の数になるかを求める。

(2) 初項から第何項までの和が最大になるか、またその時の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n項が初めて負になる条件を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

ここで、$a_1 = 70$、$d = -4$ なので、

$a_n = 70 + (n-1)(-4) = 70 - 4n + 4 = -4n + 74$

$a_n < 0$ となるnを求める。

$-4n + 74 < 0$

$-4n < -74$

$n > \frac{74}{4} = 18.5$

nは整数なので、$n \ge 19$

したがって、第19項が初めて負の数になる。

(2) 初項から第n項までの和 $S_n$ が最大になるnを求める。

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(70) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(140 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(144 - 4n) = n(72 - 2n) = 72n - 2n^2$

$S_n$ が最大になるのは、$a_n \ge 0$ かつ $a_{n+1} < 0$ となるnのときである。

$a_n = -4n + 74 \ge 0$ を解くと、

$-4n \ge -74$

$n \le \frac{74}{4} = 18.5$

$n$は整数なので、$n \le 18$

$a_{n+1} = -4(n+1) + 74 < 0$

$-4n - 4 + 74 < 0$

$-4n + 70 < 0$

$-4n < -70$

$n > \frac{70}{4} = 17.5$

$n$は整数なので、$n \ge 18$

よって、$n = 18$のとき、和が最大となる。

このときの和は $S_{18} = 18(72 - 2(18)) = 18(72 - 36) = 18(36) = 648$

3. 最終的な答え

(1) 第19項

(2) 初項から第18項までの和が最大であり、その和は648である。