(1) $y$が$x$に比例し、グラフが点$(5, -45)$を通る。 ① $x$と$y$の関係を式で表す。 ② $x$の変域が$-3 \le x \le 6$のとき、$y$の変域を求める。 (2) $y$が$x$に反比例し、グラフが点$(8, 9)$を通る。 ① $x$と$y$の関係を式で表す。 ② $x = -6$のときの$y$の値を求める。 右の図で、直線$l$は$y = \frac{1}{2}x$のグラフ、双曲線$m$は$y = \frac{8}{x}$のグラフである。点Aは直線$l$と双曲線$m$の交点の1つで、$x$座標は4である。点Bは双曲線$m$上の点で、$y$座標は$-8$である。3点O, A, Bを頂点とする$\triangle AOB$の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) $y$が$x$に比例し、グラフが点$(5, -45)$を通る。

① $x$と$y$の関係を式で表す。

② $x$の変域が$-3 \le x \le 6$のとき、$y$の変域を求める。

(2) $y$が$x$に反比例し、グラフが点$(8, 9)$を通る。

① $x$と$y$の関係を式で表す。

② $x = -6$のときの$y$の値を求める。

右の図で、直線$l$は$y = \frac{1}{2}x$のグラフ、双曲線$m$は$y = \frac{8}{x}$のグラフである。点Aは直線$l$と双曲線$m$の交点の1つで、$x$座標は4である。点Bは双曲線$m$上の点で、$y$座標は$-8$である。3点O, A, Bを頂点とする$\triangle AOB$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ① $y$が$x$に比例するので、$y = ax$と表せる。点$(5, -45)$を通るので、$-45 = a \cdot 5$。したがって、$a = -9$。ゆえに、$y = -9x$。

② $y = -9x$において、$x$の変域$-3 \le x \le 6$のとき、$y$の変域を求める。

$x = -3$のとき、$y = -9 \cdot (-3) = 27$。

$x = 6$のとき、$y = -9 \cdot 6 = -54$。

したがって、$y$の変域は$-54 \le y \le 27$。

(2) ① $y$が$x$に反比例するので、$y = \frac{a}{x}$と表せる。点$(8, 9)$を通るので、$9 = \frac{a}{8}$。したがって、$a = 72$。ゆえに、$y = \frac{72}{x}$。

② $y = \frac{72}{x}$において、$x = -6$のとき、$y = \frac{72}{-6} = -12$。

点Aの座標を求める。点Aは直線$l$上の点なので、$x=4$のとき、$y=\frac{1}{2}\cdot4 = 2$。よって、Aの座標は$(4, 2)$である。

点Bの座標を求める。点Bは双曲線$m$上の点なので、$y=-8$のとき、$-8 = \frac{8}{x}$。よって、$x = -1$。したがって、Bの座標は$(-1, -8)$である。

$\triangle AOB$の面積を求めるために、点A, Bからx軸に垂線を下ろし、それぞれの交点をC, Dとする。Cの座標は$(4, 0)$, Dの座標は$(-1, 0)$である。

$\triangle AOC$の面積は$\frac{1}{2} \cdot OC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$である。

$\triangle BOD$の面積は$\frac{1}{2} \cdot OD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 8 = 4$である。

台形ACDBの面積は$\frac{1}{2} \cdot (AC + BD) \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot (2 + 8) \cdot (4 - (-1)) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$である。

$\triangle AOB$の面積は、台形ACDBの面積から$\triangle AOC$と$\triangle BOD$の面積を引いたものである。

$\triangle AOB = 25 - 4 - 4 = 17$。

3. 最終的な答え

(1) ① $y = -9x$

② $-54 \le y \le 27$

(2) ① $y = \frac{72}{x}$

② $y = -12$

$\triangle AOB$の面積: $17 cm^2$