与えられた3つの行列それぞれについて、固有値と、実数値の固有値に対する固有ベクトルを求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた3つの行列それぞれについて、固有値と、実数値の固有値に対する固有ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

各行列 $A$ に対して以下の手順で固有値と固有ベクトルを求めます。

(1) 固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解き、固有値 $\lambda$ を求める。ここで、$I$ は単位行列です。

(2) 各固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たす固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求める。

### (1) の行列: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

固有方程式は、

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 4(-1-\lambda) = 0$.

$(-1-\lambda)[(1-\lambda)(-2-\lambda) - 4] = 0$.

$(-1-\lambda)[-2-\lambda+2\lambda+\lambda^2 - 4] = 0$.

$(-1-\lambda)(\lambda^2 + \lambda - 6) = 0$.

$(-1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-2) = 0$.

したがって、固有値は $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -3, \lambda_3 = 2$ です。

- $\lambda_1 = -1$ のとき:

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$2x + 2z = 0$ より $x = -z$. $2x-z = 0$より$2x = z$。矛盾するので計算ミス。

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$の計算ミス。

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 4(-1-\lambda) = 0$.

$(-1-\lambda)((1-\lambda)(-2-\lambda)-4) = 0$.

$(-1-\lambda)(-2-\lambda+2\lambda+\lambda^2-4) = 0$.

$(-1-\lambda)(\lambda^2+\lambda-6) = 0$.

$(-1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-2) = 0$.

$\lambda = -1$のとき、

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2z = 0 \implies x=-z$

$2x-z = 0 \implies z = 2x$

$x=-z$と$z = 2x$は両立しないので、計算ミス。固有値は正しいはず。

$A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -2-\lambda \end{pmatrix}$.

$\lambda = -1$のとき、$A-\lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.

$2x+2z=0, 2x-z = 0$より、$x=0, z=0$。yは任意。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$\lambda = -3$のとき、$A-\lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

$4x+2z = 0, 2y=0, 2x+z=0$.

$y = 0, z=-2x$.

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

$\lambda = 2$のとき、$A-\lambda I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix}$.

$-x+2z=0, -3y=0, 2x-4z=0$.

$y=0, x = 2z$.

$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

### (2) の行列: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -\lambda & 2 \\ 0 & -2 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda(\lambda^2+4)+1(-\lambda) = 0$.

$-\lambda^3 - 4\lambda - \lambda = 0$.

$-\lambda(\lambda^2+5) = 0$.

$\lambda = 0, \pm i\sqrt{5}$.

実固有値に対する固有ベクトルを求めるので、$\lambda=0$のみを考える。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$y = 0, -x+2z=0, -2y = 0$.

$x = 2z$.

$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

### (3) の行列: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - 0) + 2(0-(1-\lambda)) = 0$.

$(1-\lambda)(-\lambda(1-\lambda)) - 2(1-\lambda) = 0$.

$(1-\lambda)(-\lambda+\lambda^2 - 2) = 0$.

$(1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2) = 0$.

$(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1) = 0$.

$\lambda = 1, 2, -1$.

- $\lambda = 1$のとき、$A-\lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.

$2z=0, x+z=0, x-z = 0$.

$z=0, x=0$.

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

- $\lambda = 2$のとき、$A-\lambda I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$.

$-x+2z=0, x-y+z=0, x-2z=0$.

$x = 2z, 2z-y+z = 0 \implies y=3z$.

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

- $\lambda = -1$のとき、$A-\lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

$2x+2z=0, x+2y+z=0, x+z=0$.

$x = -z, -z+2y+z=0, 2y = 0 \implies y = 0$.

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

3. 最終的な答え

(1) 固有値: $\lambda = -1, -3, 2$. 固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(2) 固有値: $\lambda = 0, \pm i\sqrt{5}$. 固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(3) 固有値: $\lambda = 1, 2, -1$. 固有ベクトル: $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.