問題は全部で4問あります。 1. 2つの一次不等式を解く問題。

はい、承知いたしました。問題文に沿って解答します。

1. 問題の内容

問題は全部で4問あります。

1. 2つの一次不等式を解く問題。

2. 関数 $f(x) = 3x^2 - 5x + 7$ について、$f(2)$、$f(-3)$、$f(a+1)$ の値を求める問題。

3. 1個200円の菓子Aと1個100円の菓子Bを合わせて20個買うとき、箱代120円を含めた合計金額を3000円以下にするために、菓子Aを最大で何個買えるかを求める問題。

4. nが整数のとき、次の命題の真偽を調べる問題。

* $n^2$ が 4 の倍数 ⇒ $n$ は 4 の倍数

* $n$ が 3 の倍数 ⇒ $n^2 + n$ は 6 の倍数

2. 解き方の手順

1. 一次不等式を解く

* (1) $-5x + 3 \le 2x - 4$

$-7x \le -7$

$x \ge 1$

* (2) $2(4x - 1) \ge 5x - 11$

$8x - 2 \ge 5x - 11$

$3x \ge -9$

$x \ge -3$

2. 関数の値を求める

* (1) $f(2) = 3(2)^2 - 5(2) + 7 = 12 - 10 + 7 = 9$

* (2) $f(-3) = 3(-3)^2 - 5(-3) + 7 = 27 + 15 + 7 = 49$

* (3) $f(a+1) = 3(a+1)^2 - 5(a+1) + 7 = 3(a^2 + 2a + 1) - 5a - 5 + 7 = 3a^2 + 6a + 3 - 5a - 5 + 7 = 3a^2 + a + 5$

3. 菓子Aの個数を求める

* 菓子Aの個数を $x$ とすると、菓子Bの個数は $20 - x$ 。

* 合計金額は $200x + 100(20 - x) + 120 \le 3000$

* $200x + 2000 - 100x + 120 \le 3000$

* $100x \le 880$

* $x \le 8.8$

* 菓子Aの個数は整数なので、最大で8個買える。

4. 命題の真偽を調べる

* (1) $n^2$ が 4 の倍数 ⇒ $n$ は 4 の倍数

* これは偽。反例として、$n = 2$ のとき、$n^2 = 4$ は 4 の倍数だが、$n = 2$ は 4 の倍数ではない。

* (2) $n$ が 3 の倍数 ⇒ $n^2 + n$ は 6 の倍数

* $n$ が 3 の倍数なので、$n = 3k$ (kは整数)と表せる。

* $n^2 + n = (3k)^2 + 3k = 9k^2 + 3k = 3k(3k + 1)$

* $k$ が偶数のとき、$k = 2l$ (lは整数)とすると、$3k(3k + 1) = 6l(6l + 1)$となり、6の倍数。

* $k$ が奇数のとき、$k = 2l + 1$ (lは整数)とすると、$3k(3k + 1) = 3(2l+1)(3(2l+1)+1) = 3(2l+1)(6l+4) = 6(2l+1)(3l+2)$となり、6の倍数。

* したがって、$n^2 + n$ は常に6の倍数となるので、これは真。

3. 最終的な答え

1. (1) $x \ge 1$, (2) $x \ge -3$

2. (1) $9$, (2) $49$, (3) $3a^2 + a + 5$

3. 8個

4. (1) 偽, (2) 真