以下の8つの問題を解きます。 (1) $(a^{-2})^3$ (2) $(a^2 b^3)^4$ (3) $(-3)^{-2} \times (\frac{3}{2})^2$ (4) $2^4 \times (\frac{5}{2})^3$ (5) $a^{-2} \times b^3 \times (\frac{a}{2})^2 \div b^3$ (6) $5 \times 3^{x-3} = 405$ (7) $4 - 2^{x+2} + 4^x = 0$ (8) $\frac{2^{2x}}{4} - \frac{3}{4} \times 2^x - 1 = 0$

1. 問題の内容

以下の8つの問題を解きます。

(1) $(a^{-2})^3$

(2) $(a^2 b^3)^4$

(3) $(-3)^{-2} \times (\frac{3}{2})^2$

(4) $2^4 \times (\frac{5}{2})^3$

(5) $a^{-2} \times b^3 \times (\frac{a}{2})^2 \div b^3$

(6) $5 \times 3^{x-3} = 405$

(7) $4 - 2^{x+2} + 4^x = 0$

(8) $\frac{2^{2x}}{4} - \frac{3}{4} \times 2^x - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を使います。

$(a^{-2})^3 = a^{-2 \times 3} = a^{-6} = \frac{1}{a^6}$

(2) 指数法則 $(ab)^n = a^n b^n$ と $(a^m)^n = a^{mn}$ を使います。

$(a^2 b^3)^4 = (a^2)^4 (b^3)^4 = a^{2 \times 4} b^{3 \times 4} = a^8 b^{12}$

(3) 指数が負のときは逆数にします。 $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$.

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

したがって、

$(-3)^{-2} \times (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{9} \times \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$

(4) $2^4 = 16$. $(\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

したがって、

$2^4 \times (\frac{5}{2})^3 = 16 \times \frac{125}{8} = 2 \times 125 = 250$

(5) $\div b^3$ は $\times \frac{1}{b^3}$ と同じです。

$a^{-2} \times b^3 \times (\frac{a}{2})^2 \div b^3 = a^{-2} \times b^3 \times \frac{a^2}{4} \times \frac{1}{b^3} = a^{-2} \times \frac{a^2}{4} \times b^3 \times \frac{1}{b^3} = \frac{a^{-2} \times a^2}{4} \times 1 = \frac{a^{-2+2}}{4} = \frac{a^0}{4} = \frac{1}{4}$

(6) $5 \times 3^{x-3} = 405$

$3^{x-3} = \frac{405}{5} = 81$

$3^{x-3} = 3^4$

$x - 3 = 4$

$x = 7$

(7) $4 - 2^{x+2} + 4^x = 0$

$4 - 2^x \times 2^2 + (2^x)^2 = 0$

$4 - 4 \times 2^x + (2^x)^2 = 0$

$(2^x)^2 - 4 \times 2^x + 4 = 0$

$(2^x - 2)^2 = 0$

$2^x - 2 = 0$

$2^x = 2$

$x = 1$

(8) $\frac{2^{2x}}{4} - \frac{3}{4} \times 2^x - 1 = 0$

$2^{2x} - 3 \times 2^x - 4 = 0$

$(2^x)^2 - 3 \times 2^x - 4 = 0$

$(2^x - 4)(2^x + 1) = 0$

$2^x = 4$ or $2^x = -1$

$2^x = 4$ のとき $x=2$.

$2^x = -1$ は解なし。

したがって、$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{a^6}$

(2) $a^8 b^{12}$

(3) $\frac{1}{4}$

(4) $250$

(5) $\frac{1}{4}$

(6) $x = 7$

(7) $x = 1$

(8) $x = 2$