与えられた4次正方行列 $A$ に対して、以下の2つの問題を解きます。 (1) $A$ の行列式 $|A|$ の値を求める。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求める。 行列 $A$ は次のように与えられています。 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4次正方行列 $A$ に対して、以下の2つの問題を解きます。

(1) $A$ の行列式 $|A|$ の値を求める。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求める。

行列 $A$ は次のように与えられています。

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $|A|$ の計算

行列式の計算には、色々な方法がありますが、ここでは行や列に関する操作を用いて、計算を簡単にする方法を試みます。例えば、1行目を基準にして他の行を操作することで、0を増やせます。

まず、3行目から1行目の2倍を引きます。また4行目に1行目を足します。

$A' = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

次に、1列目を基準にして他の列を操作します。

計算を簡単にするため、(1,1)成分を1にするため、1行目を3で割る代わりに、第1列で展開する事にします。

$|A| = 3 \begin{vmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -3 & -6 & 0 \\ 6 & 0 & -4 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -3 & -6 & 0 \\ 6 & 0 & -4 \end{vmatrix} + 6 \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -1 \\ 6 & 0 & -4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -1 \\ -3 & -6 & 0 \end{vmatrix}$

3次の行列式をそれぞれ計算します。

$\begin{vmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -3 & -6 & 0 \\ 6 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 4(24 - 0) - 1(12 - 0) -1(0 - (-36)) = 96 - 12 - 36 = 48$

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -3 & -6 & 0 \\ 6 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -1(24 - 0) - 2(12 - 0) + 1(0 - (-36)) = -24 - 24 + 36 = -12$

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -1 \\ 6 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -1(-4 - 0) - 2(-16 - (-6)) + 1(0 - 6) = 4 + 20 - 6 = 18$

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -1 \\ -3 & -6 & 0 \end{vmatrix} = -1(0 - 6) - 2(0 - 3) + 1(-24 - (-3)) = 6 + 6 - 21 = -9$

$|A| = 3(48) + 2(-12) + 6(18) - 3(-9) = 144 - 24 + 108 + 27 = 255$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分の計算

逆行列の $(i,j)$ 成分は、$A^{-1}_{ij} = \frac{1}{|A|} C_{ji}$ で与えられます。ここで、$C_{ji}$ は $A$ の $(j,i)$ 余因子です。したがって、$A^{-1}$ の (3,4) 成分は $A^{-1}_{34} = \frac{1}{|A|} C_{43}$ となります。$C_{43}$ は、行列 $A$ から4行目と3列目を取り除いた3次正方行列の行列式に $(-1)^{(4+3)}$ をかけたものです。

$C_{43} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 6 & -5 & 2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 6 & -5 & 2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ 6 & -5 & 2 \end{vmatrix} = 3(8 - 5) - (-1)(-4 - (-6)) + 1(10 - 24) = 9 + 2 - 14 = -3$

$C_{43} = -(-3) = 3$

$A^{-1}_{34} = \frac{1}{|A|} C_{43} = \frac{3}{255} = \frac{1}{85}$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = 255$

(2) $A^{-1}$ の (3,4) 成分: $\frac{1}{85}$