問題5では、対数法則と底の変換公式を利用して対数の計算を行います。 (1) $\log_3 4 + \log_3 6 - \log_3 5 \cdot \log_5 12$ (2) $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$ 問題6では、対数関数を含む方程式を解いて、$x$ の値を求めます。 (1) $2^{2\log_2 x - \log_2 3} = 12$ (2) $\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$

1. 問題の内容

問題5では、対数法則と底の変換公式を利用して対数の計算を行います。

(1) $\log_3 4 + \log_3 6 - \log_3 5 \cdot \log_5 12$

(2) $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$

問題6では、対数関数を含む方程式を解いて、$x$ の値を求めます。

(1) $2^{2\log_2 x - \log_2 3} = 12$

(2) $\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$

2. 解き方の手順

問題5 (1):

$\log_3 4 + \log_3 6 - \log_3 5 \cdot \log_5 12$

まず、$\log_3 4 + \log_3 6 = \log_3 (4 \cdot 6) = \log_3 24$

次に、$\log_3 5 \cdot \log_5 12$ を計算するために、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて底を3に統一します。

$\log_3 5 \cdot \log_5 12 = \log_3 5 \cdot \frac{\log_3 12}{\log_3 5} = \log_3 12$

したがって、

$\log_3 24 - \log_3 12 = \log_3 \frac{24}{12} = \log_3 2$

問題5 (2):

$\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$

$\log_2 10 \cdot \log_5 10 = \log_2 (2 \cdot 5) \cdot \log_5 (2 \cdot 5) = (\log_2 2 + \log_2 5) (\log_5 2 + \log_5 5) = (1 + \log_2 5)(1 + \log_5 2)$

$(1 + \log_2 5)(1 + \log_5 2) = 1 + \log_2 5 + \log_5 2 + \log_2 5 \cdot \log_5 2$

$\log_2 5 \cdot \log_5 2 = \log_2 5 \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = \log_2 5 \cdot \frac{1}{\log_2 5} = 1$

したがって、$\log_2 10 \cdot \log_5 10 = 1 + \log_2 5 + \log_5 2 + 1 = 2 + \log_2 5 + \log_5 2$

$\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2) = 2 + \log_2 5 + \log_5 2 - (\log_2 5 + \log_5 2) = 2$

問題6 (1):

$2^{2\log_2 x - \log_2 3} = 12$

$2^{2\log_2 x - \log_2 3} = 2^{\log_2 x^2 - \log_2 3} = 2^{\log_2 \frac{x^2}{3}} = \frac{x^2}{3}$

$\frac{x^2}{3} = 12$

$x^2 = 36$

$x = \pm 6$

真数条件より、$x > 0$ であるから、$x = 6$

問題6 (2):

$\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$

$\log_6 (x-1)(x+4) = 2$

$(x-1)(x+4) = 6^2$

$x^2 + 3x - 4 = 36$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

$(x+8)(x-5) = 0$

$x = -8, 5$

真数条件より、$x-1 > 0$ かつ $x+4 > 0$ であるから、$x > 1$

したがって、$x = 5$

3. 最終的な答え

問題5:

(1) $\log_3 2$

(2) $2$

問題6:

(1) $x = 6$

(2) $x = 5$