与えられた方程式 $4^x - 2^{x+1}a + 8a - 15 = 0$ について、以下の問いに答える。 (1) この方程式が実数解をただ1つ持つような $a$ の値の範囲を求める。 (2) この方程式が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持ち、$\alpha \geq 1$ かつ $\beta \geq 1$ を満たすような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $4^x - 2^{x+1}a + 8a - 15 = 0$ について、以下の問いに答える。

(1) この方程式が実数解をただ1つ持つような $a$ の値の範囲を求める。

(2) この方程式が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持ち、$\alpha \geq 1$ かつ $\beta \geq 1$ を満たすような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = 2^x$ と置換すると、$t > 0$ となる。すると、方程式は

$t^2 - 2at + 8a - 15 = 0$

となる。この $t$ に関する2次方程式がただ1つの正の実数解を持つ条件を考える。

(i) 2次方程式が重解を持ち、その解が正である場合。

判別式 $D = (-2a)^2 - 4(8a - 15) = 4a^2 - 32a + 60 = 4(a^2 - 8a + 15) = 4(a-3)(a-5)$ より、$D=0$ となるのは $a = 3, 5$ のとき。

解は $t = \frac{2a}{2} = a$ なので、 $a>0$ が必要。よって、$a=3, 5$ は条件を満たす。

(ii) 2次方程式が正と負の解を持つ場合。

解と係数の関係より、解の積は $\frac{8a - 15}{1} = 8a - 15$ であり、これが負であれば良い。

$8a - 15 < 0$ より、$a < \frac{15}{8}$

(iii) 2次方程式が解を一つだけ持ち、それが正である場合。これは判別式が0の場合に含まれる。

以上より、$a < \frac{15}{8}$ または $a = 3, 5$ なので、$a < \frac{15}{8}, a=5$

(2)

$t = 2^x$ とすると、$x \geq 1$ のとき $t \geq 2$ となる。

$t^2 - 2at + 8a - 15 = 0$ が異なる2つの実数解 $t_1, t_2$ を持ち、$t_1 \geq 2$ かつ $t_2 \geq 2$ を満たす条件を考える。

$f(t) = t^2 - 2at + 8a - 15$ とおく。

(i) 判別式 $D > 0$ である必要がある。

$D = 4(a-3)(a-5) > 0$ より、$a < 3$ または $a > 5$

(ii) 軸 $t = a$ が $t \geq 2$ を満たす必要がある。

$a \geq 2$

(iii) $f(2) \geq 0$ である必要がある。

$f(2) = 4 - 4a + 8a - 15 = 4a - 11 \geq 0$ より、$a \geq \frac{11}{4}$

(iv) $t_1+t_2 > 4$である必要がある。

解と係数の関係より、$t_1+t_2 = 2a$.

$2a>4$より、$a>2$

以上の条件をまとめると、

$a < 3$ または $a > 5$, $a \geq 2$, $a \geq \frac{11}{4}$ となる。

$2.75 \le a<3$または$a>5$. よって$\frac{11}{4} \leq a < 3$ または $a>5$.

3. 最終的な答え

(1) $a < \frac{15}{8}$ または $a=5$

(2) $\frac{11}{4} \leq a < 3$ または $a>5$