(3) 2桁の正の整数 $n$ と、その整数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた2桁の整数との和がある自然数の2乗になるという。このような $n$ のうちで最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

(3) 2桁の正の整数 $n$ と、その整数の十の位の数と一の位の数を入れ替えた2桁の整数との和がある自然数の2乗になるという。このような $n$ のうちで最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

$n$ を十の位の数を $x$, 一の位の数を $y$ として表すと、 $n = 10x + y$ と表せる。

十の位と一の位を入れ替えた整数は $10y + x$ となる。

これらの和は $10x + y + 10y + x = 11x + 11y = 11(x+y)$ となる。

この和がある自然数の2乗になるので、$11(x+y) = k^2$ （$k$ は自然数）と表せる。

$11$ は素数なので、$x+y$ は $11$ の倍数でなければならない。

$x$ と $y$ はそれぞれ1から9までの整数なので、$x+y$ の最小値は2であり、最大値は18である。

したがって、$x+y = 11$ である。

$n = 10x + y$ が最小となるのは、$x$ が最小のときである。

$x+y = 11$ より、$y = 11-x$ である。$y$ は1から9までの整数なので、$11-x \le 9$ であり、$x \ge 2$ である。

$x=2$ のとき、$y = 11-2 = 9$ となる。

このとき、$n = 10x + y = 10(2) + 9 = 29$ である。

このとき、$29 + 92 = 121 = 11^2$ となり、条件を満たす。

3. 最終的な答え

29