与えられた複素数の計算問題を解き、$a + bi$ の形式で答えを求める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $(2 - 8i) - (3 - 8i)$ (2) $(3 + 4i)(4 - 3i)$ (3) $\frac{5}{3 + 4i}$ (4) $(\sqrt{-27} + \sqrt{3})\sqrt{-3}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題を解き、$a + bi$ の形式で答えを求める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $(2 - 8i) - (3 - 8i)$

(2) $(3 + 4i)(4 - 3i)$

(3) $\frac{5}{3 + 4i}$

(4) $(\sqrt{-27} + \sqrt{3})\sqrt{-3}$

2. 解き方の手順

(1) $(2 - 8i) - (3 - 8i)$

実部と虚部をそれぞれ計算します。

$2 - 3 = -1$

$-8i - (-8i) = -8i + 8i = 0$

したがって、$a = -1$、$b = 0$ となります。

(2) $(3 + 4i)(4 - 3i)$

展開して計算します。

$(3 + 4i)(4 - 3i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-3i) + 4i \cdot 4 + 4i \cdot (-3i)$

$= 12 - 9i + 16i - 12i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$= 12 - 9i + 16i + 12$

$= (12 + 12) + (-9 + 16)i$

$= 24 + 7i$

したがって、$a = 24$、$b = 7$ となります。

(3) $\frac{5}{3 + 4i}$

分母の共役複素数を掛けて分母を実数化します。分母の共役複素数は $3 - 4i$ です。

$\frac{5}{3 + 4i} = \frac{5(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)}$

$= \frac{5(3 - 4i)}{3^2 - (4i)^2}$

$= \frac{5(3 - 4i)}{9 - 16i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$= \frac{5(3 - 4i)}{9 + 16}$

$= \frac{5(3 - 4i)}{25}$

$= \frac{3 - 4i}{5}$

$= \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

したがって、$a = \frac{3}{5}$、$b = -\frac{4}{5}$ となります。

(4) $(\sqrt{-27} + \sqrt{3})\sqrt{-3}$

$\sqrt{-27} = \sqrt{27}i = \sqrt{9 \cdot 3}i = 3\sqrt{3}i$

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$

$(\sqrt{-27} + \sqrt{3})\sqrt{-3} = (3\sqrt{3}i + \sqrt{3})\sqrt{3}i$

$= (3\sqrt{3}i \cdot \sqrt{3}i) + (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}i)$

$= 3 \cdot 3 \cdot i^2 + 3i$

$= 9i^2 + 3i$

$i^2 = -1$ なので、

$= -9 + 3i$

したがって、$a = -9$、$b = 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $-1 + 0i = -1$

(2) $24 + 7i$

(3) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) $-9 + 3i$