与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。 (1) $y = -2x^2$ を平行移動した放物線が点 $(1, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるという条件から放物線の方程式を求めます。 (2) 頂点の座標が $(3, -9)$ であり、$x$軸から切り取る線分の長さが $6$ であるという条件から放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。

(1) $y = -2x^2$ を平行移動した放物線が点 $(1, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるという条件から放物線の方程式を求めます。

(2) 頂点の座標が $(3, -9)$ であり、$x$軸から切り取る線分の長さが $6$ であるという条件から放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = -2x^2$ を平行移動した放物線の方程式は、$y = -2(x - p)^2 + q$ と表せます。ここで、頂点の座標は $(p, q)$ です。

頂点が直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、$q = 2p + 1$ が成り立ちます。よって、放物線の方程式は $y = -2(x - p)^2 + 2p + 1$ と表せます。

この放物線が点 $(1, 3)$ を通るので、$x = 1$, $y = 3$ を代入すると、$3 = -2(1 - p)^2 + 2p + 1$ となります。

これを $p$ について解くと、

$3 = -2(1 - 2p + p^2) + 2p + 1$

$3 = -2 + 4p - 2p^2 + 2p + 1$

$2p^2 - 6p + 4 = 0$

$p^2 - 3p + 2 = 0$

$(p - 1)(p - 2) = 0$

よって、$p = 1, 2$ となります。

$p = 1$ のとき、$q = 2(1) + 1 = 3$ なので、放物線の方程式は $y = -2(x - 1)^2 + 3$ となります。

$p = 2$ のとき、$q = 2(2) + 1 = 5$ なので、放物線の方程式は $y = -2(x - 2)^2 + 5$ となります。

(2)

頂点の座標が $(3, -9)$ である放物線の方程式は、$y = a(x - 3)^2 - 9$ と表せます。

$x$軸から切り取る線分の長さが $6$ であることから、$y = 0$ としたとき、$x$ の値が2つ存在し、その差が $6$ であることがわかります。

$a(x - 3)^2 - 9 = 0$ を解くと、$a(x - 3)^2 = 9$ より、$(x - 3)^2 = \frac{9}{a}$ となります。

$x - 3 = \pm \sqrt{\frac{9}{a}}$ となり、$x = 3 \pm \frac{3}{\sqrt{a}}$ となります。

$x$ の差は、$\left(3 + \frac{3}{\sqrt{a}}\right) - \left(3 - \frac{3}{\sqrt{a}}\right) = \frac{6}{\sqrt{a}} = 6$ となるので、$\sqrt{a} = 1$ となり、$a = 1$ となります。

よって、放物線の方程式は $y = (x - 3)^2 - 9 = x^2 - 6x$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2(x - 1)^2 + 3$, $y = -2(x - 2)^2 + 5$

(2) $y = (x - 3)^2 - 9 = x^2 - 6x$