$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を利用して、次の数の桁数を求めよ。 (1) $2^{30}$ (2) $2^{80}$ (3) $3^{100}$

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を利用して、次の数の桁数を求めよ。

(1) $2^{30}$

(2) $2^{80}$

(3) $3^{100}$

2. 解き方の手順

桁数を求めるには、常用対数を計算し、その整数部分に1を足します。

(1) $2^{30}$ の桁数を求める。

$\log_{10}2^{30} = 30 \log_{10}2 = 30 \times 0.3010 = 9.03$

整数部分は9なので、桁数は $9 + 1 = 10$

(2) $2^{80}$ の桁数を求める。

$\log_{10}2^{80} = 80 \log_{10}2 = 80 \times 0.3010 = 24.08$

整数部分は24なので、桁数は $24 + 1 = 25$

(3) $3^{100}$ の桁数を求める。

$\log_{10}3^{100} = 100 \log_{10}3 = 100 \times 0.4771 = 47.71$

整数部分は47なので、桁数は $47 + 1 = 48$

3. 最終的な答え

(1) $2^{30}$: 10桁

(2) $2^{80}$: 25桁

(3) $3^{100}$: 48桁