関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ に対して、$(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ に対して、$(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $f(f(x))$ を計算します。

$$$$

f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+2}{\frac{3x+2}{x+a}+a}

$$$$

分母と分子に $(x+a)$ を掛けて簡略化します。

$$$$

f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}

$$$$

$f(f(x)) = f(x)$ であるから、

$$$$

\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{3x+2}{x+a}

$$$$

両辺に $((3+a)x+2+a^2)(x+a)$ を掛けて整理します。

$$$$

(11x+6+2a)(x+a) = (3x+2)((3+a)x+2+a^2)

$$$$

$$$$

11x^2 + 11ax + 6x + 6a + 2ax + 2a^2 = 3(3+a)x^2 + (6+3a^2)x + 2(3+a)x + 4 + 2a^2

$$$$

$$$$

11x^2 + (13a+6)x + 6a+2a^2 = (9+3a)x^2 + (6+3a^2+6+2a)x + 4+2a^2

$$$$

$$$$

11x^2 + (13a+6)x + 6a+2a^2 = (9+3a)x^2 + (12+3a^2+2a)x + 4+2a^2

$$$$

係数を比較します。

$x^2$ の係数について: $11 = 9 + 3a \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$

$x$ の係数について: $13a+6 = 12 + 3a^2 + 2a$

定数項について: $6a+2a^2 = 4+2a^2 \implies 6a = 4 \implies a = \frac{2}{3}$

$a = \frac{2}{3}$ を $x$ の係数の式に代入すると

$$$$

13\left(\frac{2}{3}\right)+6 = 12 + 3\left(\frac{4}{9}\right) + 2\left(\frac{2}{3}\right)

$$$$

$$$$

\frac{26}{3}+6 = 12 + \frac{4}{3} + \frac{4}{3}

$$$$

$$$$

\frac{26+18}{3} = \frac{36+4+4}{3}

$$$$

$$$$

\frac{44}{3} = \frac{44}{3}

$$$$

これは正しいです。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$