関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax - 4}{x + 3}$ と $g(x) = \frac{3x + 4}{bx + 2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $g(f(x))$ を計算する。

$g(f(x)) = g\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) = \frac{3\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) + 4}{b\left(\frac{ax - 4}{x + 3}\right) + 2}$

次に、この式を整理する。分子と分母に $x + 3$ を掛ける。

$g(f(x)) = \frac{3(ax - 4) + 4(x + 3)}{b(ax - 4) + 2(x + 3)} = \frac{3ax - 12 + 4x + 12}{abx - 4b + 2x + 6} = \frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)}$

$(g \circ f)(x) = x$ が成り立つためには、$\frac{(3a + 4)x}{(ab + 2)x + (6 - 4b)} = x$ である必要がある。

つまり、$x((ab + 2)x + (6 - 4b)) = (3a + 4)x$ がすべての $x$ について成り立つ必要がある。

$(ab + 2)x^2 + (6 - 4b)x = (3a + 4)x$

$(ab + 2)x^2 + (6 - 4b - 3a - 4)x = 0$

$(ab + 2)x^2 + (2 - 4b - 3a)x = 0$

この等式がすべての $x$ について成立するためには、$ab + 2 = 0$ かつ $2 - 4b - 3a = 0$ でなければならない。

すなわち、$ab = -2$ と $3a + 4b = 2$ を満たす必要がある。

$ab = -2$ より $a = -\frac{2}{b}$ である。これを $3a + 4b = 2$ に代入する。

$3\left(-\frac{2}{b}\right) + 4b = 2$

$-\frac{6}{b} + 4b = 2$

両辺に $b$ を掛ける。

$-6 + 4b^2 = 2b$

$4b^2 - 2b - 6 = 0$

$2b^2 - b - 3 = 0$

$(2b - 3)(b + 1) = 0$

したがって、$b = \frac{3}{2}$ または $b = -1$ である。ただし、$b \neq \frac{3}{2}$ なので、$b = -1$ である。

$b = -1$ を $ab = -2$ に代入すると、$a(-1) = -2$ より $a = 2$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -1$