$y = x^2 + 2ax + 2a - 2$ の2次関数で表される放物線Cについて、以下の問いに答える。 (1) $x = -1$ のときの $y$ の値を求める。また、$a = -1$ のときのCの頂点の座標を求める。 (2) 点 $(-2, -1)$ がC上にあるときの $a$ の値を求める。 (3) $a$ が実数全体を動くとき、Cの頂点の $y$ 座標の最大値を求める。 (4) $a > 0$ とするとき、Cが直線 $y = 2$ から切り取る線分の長さが4となるときの $a$ の値を求める。 (5) $y < 0$ となる整数 $x$ が $-1$ と $0$ のみとなるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$y = x^2 + 2ax + 2a - 2$ の2次関数で表される放物線Cについて、以下の問いに答える。

(1) $x = -1$ のときの $y$ の値を求める。また、$a = -1$ のときのCの頂点の座標を求める。

(2) 点 $(-2, -1)$ がC上にあるときの $a$ の値を求める。

(3) $a$ が実数全体を動くとき、Cの頂点の $y$ 座標の最大値を求める。

(4) $a > 0$ とするとき、Cが直線 $y = 2$ から切り取る線分の長さが4となるときの $a$ の値を求める。

(5) $y < 0$ となる整数 $x$ が $-1$ と $0$ のみとなるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x = -1$ を $y = x^2 + 2ax + 2a - 2$ に代入すると、

$y = (-1)^2 + 2a(-1) + 2a - 2 = 1 - 2a + 2a - 2 = -1$

$a = -1$ を $y = x^2 + 2ax + 2a - 2$ に代入すると、

$y = x^2 - 2x - 4$

平方完成すると、

$y = (x - 1)^2 - 5$

よって、頂点の座標は $(1, -5)$

(2)

点 $(-2, -1)$ がC上にあるので、$y = x^2 + 2ax + 2a - 2$ に $x = -2$, $y = -1$ を代入すると、

$-1 = (-2)^2 + 2a(-2) + 2a - 2$

$-1 = 4 - 4a + 2a - 2$

$-1 = 2 - 2a$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

(3)

$y = x^2 + 2ax + 2a - 2$ を平方完成すると、

$y = (x + a)^2 - a^2 + 2a - 2$

頂点の $y$ 座標は $-a^2 + 2a - 2 = -(a^2 - 2a) - 2 = -(a - 1)^2 + 1 - 2 = -(a - 1)^2 - 1$

$a$ が実数全体を動くとき、$a = 1$ のときに頂点の $y$ 座標は最大値 $-1$ をとる。

(4)

$y = x^2 + 2ax + 2a - 2$ と $y = 2$ の交点を求める。

$x^2 + 2ax + 2a - 2 = 2$

$x^2 + 2ax + 2a - 4 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4(2a - 4)}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2 - 2a + 4}$

2つの交点の $x$ 座標の差の絶対値が4なので、

$2\sqrt{a^2 - 2a + 4} = 4$

$\sqrt{a^2 - 2a + 4} = 2$

$a^2 - 2a + 4 = 4$

$a^2 - 2a = 0$

$a(a - 2) = 0$

$a > 0$ より、$a = 2$

(5)

$y = x^2 + 2ax + 2a - 2 < 0$ となる整数 $x$ が $-1$ と $0$ のみとなる条件を考える。

$f(x) = x^2 + 2ax + 2a - 2$ とおく。

$f(-1) = 1 - 2a + 2a - 2 = -1 < 0$ (常に成立)

$f(0) = 2a - 2 < 0$ より $a < 1$

$f(-2) = 4 - 4a + 2a - 2 = 2 - 2a \ge 0$ より $a \le 1$

$f(1) = 1 + 2a + 2a - 2 = 4a - 1 \ge 0$ より $a \ge \frac{1}{4}$

よって、$\frac{1}{4} \le a < 1$

3. 最終的な答え

7: ア. -1

8: エ. (-1, -5)

9: エ. 3/2

10: ウ. -1

11: ア. 2

12: イ. 1/4 <= a < 1