与えられた6つの数について、それぞれ小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを答える問題です。 (1) $(\frac{1}{3})^{20}$ (2) $(\frac{1}{2})^{40}$ (3) $(\frac{1}{2})^{100}$ (4) $(\frac{2}{3})^{100}$ (5) $(\frac{3}{4})^{80}$ (6) $(\frac{3}{5})^{30}$

1. 問題の内容

与えられた6つの数について、それぞれ小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを答える問題です。

(1) $(\frac{1}{3})^{20}$

(2) $(\frac{1}{2})^{40}$

(3) $(\frac{1}{2})^{100}$

(4) $(\frac{2}{3})^{100}$

(5) $(\frac{3}{4})^{80}$

(6) $(\frac{3}{5})^{30}$

2. 解き方の手順

一般に、ある数 $x$ について、その常用対数 $\log_{10} x$ が与えられたとき、$n \le \log_{10} x < n+1$ を満たす整数 $n$ を考えます。

もし $n < 0$ であれば、 $x$ は小数で表したとき、小数第 $|n|$ 位に初めて0でない数字が現れます。

つまり、$\log_{10} x$ の整数部分が $-k$ ならば、小数第 $k$ 位に初めて0でない数字が現れます。

各問題について、常用対数を計算します。$\log_{10}2 \approx 0.3010$, $\log_{10}3 \approx 0.4771$ とします。

(1) $\log_{10} (\frac{1}{3})^{20} = 20 \log_{10} (\frac{1}{3}) = 20 (\log_{10} 1 - \log_{10} 3) = -20 \log_{10} 3 \approx -20 \times 0.4771 = -9.542$.

整数部分は-10なので、小数第10位。

(2) $\log_{10} (\frac{1}{2})^{40} = 40 \log_{10} (\frac{1}{2}) = -40 \log_{10} 2 \approx -40 \times 0.3010 = -12.04$.

整数部分は-13なので、小数第13位。

(3) $\log_{10} (\frac{1}{2})^{100} = 100 \log_{10} (\frac{1}{2}) = -100 \log_{10} 2 \approx -100 \times 0.3010 = -30.1$.

整数部分は-31なので、小数第31位。

(4) $\log_{10} (\frac{2}{3})^{100} = 100 \log_{10} (\frac{2}{3}) = 100 (\log_{10} 2 - \log_{10} 3) \approx 100 (0.3010 - 0.4771) = 100 \times (-0.1761) = -17.61$.

整数部分は-18なので、小数第18位。

(5) $\log_{10} (\frac{3}{4})^{80} = 80 \log_{10} (\frac{3}{4}) = 80 (\log_{10} 3 - \log_{10} 4) = 80 (\log_{10} 3 - 2 \log_{10} 2) \approx 80 (0.4771 - 2 \times 0.3010) = 80 (0.4771 - 0.6020) = 80 \times (-0.1249) = -9.992$.

整数部分は-10なので、小数第10位。

(6) $\log_{10} (\frac{3}{5})^{30} = 30 \log_{10} (\frac{3}{5}) = 30 (\log_{10} 3 - \log_{10} 5) = 30 (\log_{10} 3 - \log_{10} \frac{10}{2}) = 30 (\log_{10} 3 - (1 - \log_{10} 2)) \approx 30 (0.4771 - (1 - 0.3010)) = 30 (0.4771 - 0.6990) = 30 \times (-0.2219) = -6.657$.

整数部分は-7なので、小数第7位。

3. 最終的な答え

(1) 小数第10位

(2) 小数第13位

(3) 小数第31位

(4) 小数第18位

(5) 小数第10位

(6) 小数第7位