(1) まず、$x + \frac{1}{x} = 1$ の解を求め、さらに$\sqrt{2}x + 3y = 4 + 9a$ となるような $a$ の値を求めます。 (2) 19以下の素数の集合を全体集合とし、部分集合 $A = \{n \mid n \text{ は4で割ると1余る素数}\}$ および $B = \{n \mid n \text{ は6で割ると1余る素数}\}$ を定義します。このとき、$A \cap B$ の要素の個数と $A \cup B$ の要素の個数を求めます。

1. 問題の内容

(1)

まず、$x + \frac{1}{x} = 1$ の解を求め、さらに$\sqrt{2}x + 3y = 4 + 9a$ となるような $a$ の値を求めます。

(2)

19以下の素数の集合を全体集合とし、部分集合 $A = \{n \mid n \text{ は4で割ると1余る素数}\}$ および $B = \{n \mid n \text{ は6で割ると1余る素数}\}$ を定義します。このとき、$A \cap B$ の要素の個数と $A \cup B$ の要素の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x + \frac{1}{x} = 1$ を解きます。両辺に $x$ を掛けると、

$x^2 + 1 = x$

$x^2 - x + 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

しかし、選択肢から実数の解を要求されているようなので、問題文に誤りがあると仮定します。

$x+\frac{1}{x} = 3$とすると、$x^2 - 3x + 1 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

もしくは、$x + \frac{1}{x}$ の値が選択肢に合うように問題文が作られている可能性がありますが、ここでは$x + \frac{1}{x} = 1$のまま進めます。

次に、$\sqrt{2}x + 3y = 4 + 9a$ となるような $a$ の値を求めます。

$x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ のとき

$\sqrt{2}x + 3y = 4 + 9a$

$3y = 4 + 9a - \sqrt{2}x$

$y = \frac{4 + 9a - \sqrt{2}x}{3}$

$a$ の値が選択肢にあるようにするには、$x$の値や式の形が違う必要があります。

もし仮に、$x+\frac{1}{x}=3$で$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ だとすると、$y$を消去できないため、ここでは$a$を仮に-1とすると、

$\sqrt{2}x+3y = 4+9(-1) = -5$となります。

すると、$\sqrt{2}x + 3y = -5$ を満たす解があるかどうか検討する必要があります。

問題文の意図を理解するため、一旦(2)に進みます。

(2)

19以下の素数は、2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 の8個です。

$A = \{n \mid n \text{ は4で割ると1余る素数}\}$

$A = \{5, 13, 17\}$

$B = \{n \mid n \text{ は6で割ると1余る素数}\}$

$B = \{7, 13, 19\}$

$A \cap B = \{13\}$ なので、要素の個数は 1 個です。

$A \cup B = \{5, 7, 13, 17, 19\}$ なので、要素の個数は 5 個です。

3. 最終的な答え

(2) の答え

$A \cap B$ の要素の個数は 1 個。

$A \cup B$ の要素の個数は 5 個。

よって、3の答えはア.1、4の答えはイ.5

(1) の答え

$x + \frac{1}{x}=1$と仮定すると、$x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ となり、選択肢に合う答えが存在しません。

もし$a=-1$であれば、ア.-1

もし$x + \frac{1}{x} = 3$ならば、$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

仮に$x=2$とすると、$2+\frac{1}{2}$となり、$x + \frac{1}{x} = 1$を満たしません。

問題文に誤植がある可能性が高いです。