* 問題11-1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $a$ の条件を求め、その場合の逆行列を求める。 * 問題11-2: 逆行列を利用して、連立方程式 $\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 5x - 6y = -1 \end{cases}$ を解く。 * 問題11-3: $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる実数 $x, y$ を求める。

はい、承知いたしました。画像に記載された3つの問題を解きます。

1. 問題の内容

* 問題11-1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $a$ の条件を求め、その場合の逆行列を求める。

* 問題11-2: 逆行列を利用して、連立方程式 $\begin{cases} 3x + 5y = 2 \\ 5x - 6y = -1 \end{cases}$ を解く。

* 問題11-3: $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる実数 $x, y$ を求める。

2. 解き方の手順

* 問題11-1:

* 行列 $A$ の逆行列が存在するための条件は、行列式 $\det(A) \neq 0$ であること。

$\det(A) = (1)(3) - (a)(2) = 3 - 2a$

したがって、$3 - 2a \neq 0$ より、$a \neq \frac{3}{2}$。

* $a \neq \frac{3}{2}$ のとき、逆行列 $A^{-1}$ は以下のように計算される。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3-2a} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

* 問題11-2:

* 連立方程式を行列で表すと、$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$M = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$とおくと、$\det(M) = (3)(-6) - (5)(5) = -18 - 25 = -43$

$M^{-1} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

* $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -12 + 5 \\ -10 - 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-43} \begin{pmatrix} -7 \\ -13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{43} \\ \frac{13}{43} \end{pmatrix}$

* 問題11-3:

* $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$ は、以下の連立方程式と同値。

$\begin{cases} 2x - 5y = 3 \\ 3x + 2y = 1 \end{cases}$

* この連立方程式を解く。

1つ目の式を3倍、2つ目の式を2倍すると

$\begin{cases} 6x - 15y = 9 \\ 6x + 4y = 2 \end{cases}$

2つの式の差を取ると、 $-19y = 7$ より $y = -\frac{7}{19}$。

これを $3x + 2y = 1$ に代入すると、$3x - \frac{14}{19} = 1$ より、$3x = 1 + \frac{14}{19} = \frac{33}{19}$。

したがって、$x = \frac{11}{19}$。

3. 最終的な答え

* 問題11-1: $a \neq \frac{3}{2}$ のとき、$A^{-1} = \frac{1}{3-2a} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

* 問題11-2: $x = \frac{7}{43}, y = \frac{13}{43}$

* 問題11-3: $x = \frac{11}{19}, y = -\frac{7}{19}$