与えられた4つの行列について、逆行列が存在する場合はそれを求め、存在しない場合は「なし」と答える問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列について、逆行列が存在する場合はそれを求め、存在しない場合は「なし」と答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

まず、行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = (1)(2) - (3)(-1) = 2 + 3 = 5$

逆行列は、

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$

(2) 3x3行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

行列式 $|B|$ を計算します。

$|B| = 2 \cdot (1 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) - 1 \cdot (0 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) + 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0) = 2(3) - 1(0) + 0 = 6$

逆行列は、

$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \begin{pmatrix} 3 & -3 & -1 \\ 3 & -3 \\ 3 & 6 & 2 \end{pmatrix}^T$

正しくは、

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$

(3) 3x3行列 $C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

行列式 $|C|$ を計算します。

$|C| = 3(0 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + 1(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) = 0$

行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(4) 3x3行列 $D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

行列式 $|D|$ を計算します。

$|D| = 1(3 \cdot 2 - 2 \cdot 0) - 1(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) + 0(0 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) = 1(6) - 1(2) + 0 = 4$

逆行列は、

$D^{-1} = \frac{1}{|D|} \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ -2 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$D^{-1} = \begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1 & 1/2 & -1 \\ 3/4 & -1/2 & 3/4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 2/5 & -3/5 \\ 1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$

(3) なし

(4) $\begin{pmatrix} 3/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1 & 1/2 & -1 \\ 3/4 & -1/2 & 3/4 \end{pmatrix}$