放物線 $y = x^2 - 6x$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した放物線を $C_2$ とする。$C_2$を表す関数の $3 \le x \le 7$ における最小値を $m$、最大値を $M$ とする。 (1) $0 \le x \le 4$ における関数 $y = x^2 - 6x$ の値域を求める。 (2) $a < 0$ のとき、$0 \le a \le 4$ のとき、$a > 4$ のときの $m$ の値を求める。 (3) $m > 0$ となるような $a$ の値の範囲を求める。また、$M - m = 24$、かつ $a > 0$ を満たすような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 6x$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した放物線を $C_2$ とする。$C_2$を表す関数の $3 \le x \le 7$ における最小値を $m$、最大値を $M$ とする。

(1) $0 \le x \le 4$ における関数 $y = x^2 - 6x$ の値域を求める。

(2) $a < 0$ のとき、$0 \le a \le 4$ のとき、$a > 4$ のときの $m$ の値を求める。

(3) $m > 0$ となるような $a$ の値の範囲を求める。また、$M - m = 24$、かつ $a > 0$ を満たすような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$ であるから、$0 \le x \le 4$ における $y$ の最小値は $x = 3$ のとき $y = -9$。最大値は $x = 0$ のとき $y = 0$。したがって、値域は $-9 \le y \le 0$。

(2) 放物線 $C_2$ は $y = (x-a)^2 - 6(x-a) = x^2 - 2ax + a^2 - 6x + 6a = x^2 - (2a+6)x + a^2 + 6a = (x - (a+3))^2 - (a+3)^2 + a^2 + 6a = (x - (a+3))^2 - (a^2 + 6a + 9) + a^2 + 6a = (x - (a+3))^2 - 9$ である。

軸は $x = a+3$。

$a < 0$ のとき、$a+3 < 3$ より、軸は $3 \le x \le 7$ の範囲の左側にあるので、$x = 3$ で最小値をとる。

$m = (3 - (a+3))^2 - 9 = a^2 - 9$。

$0 \le a \le 4$ のとき、$3 \le a+3 \le 7$ より、軸が $3 \le x \le 7$ の範囲内にあるので、$x = a+3$ で最小値をとる。

$m = -9$。

$a > 4$ のとき、$a+3 > 7$ より、軸は $3 \le x \le 7$ の範囲の右側にあるので、$x = 7$ で最小値をとる。

$m = (7 - (a+3))^2 - 9 = (4-a)^2 - 9 = a^2 - 8a + 16 - 9 = a^2 - 8a + 7$。

(3) $a < 0$ のとき、$m = a^2 - 9 > 0$ より、$a^2 > 9$。$a < -3$ または $a > 3$。$a < 0$ より、$a < -3$。

$0 \le a \le 4$ のとき、$m = -9$ より、$m > 0$ となることはない。

$a > 4$ のとき、$m = a^2 - 8a + 7 > 0$ より、$(a-1)(a-7) > 0$。$a < 1$ または $a > 7$。$a > 4$ より、$a > 7$。

したがって、$m > 0$ となるのは、$a < -3$ または $a > 7$。

$a < 0$ のとき、$M = (7-(a+3))^2 - 9 = (4-a)^2 - 9 = a^2 - 8a + 7$。$M - m = (a^2 - 8a + 7) - (a^2 - 9) = -8a + 16 = 24$。$-8a = 8$。$a = -1$。

$0 \le a \le 4$ のとき、$M = (3 - (a+3))^2 - 9 = a^2 - 9$。$M - m = a^2 - 9 - (-9) = a^2 = 24$。$a = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$。これは $0 \le a \le 4$ に含まれないので不適。

$a > 4$ のとき、$M = (3 - (a+3))^2 - 9 = a^2 - 9$。$M - m = a^2 - 9 - (a^2 - 8a + 7) = 8a - 16 = 24$。$8a = 40$。$a = 5$。

$a>0$を満たすのは、$a = 5$。

3. 最終的な答え

7: ア

8: ウ

9: ア

10: ウ

11: エ

12: ウ