与えられた多項式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた多項式を $x$ について整理します。

$x^2 + (4y+2)x + (3y^2 + 4y + 1)$

次に、定数項 $3y^2 + 4y + 1$ を因数分解します。

$3y^2 + 4y + 1 = (3y + 1)(y + 1)$

次に、たすき掛けを用いて多項式全体を因数分解できるか試します。

$x^2 + (4y+2)x + (3y + 1)(y + 1)$

$x$ の係数が $4y + 2$ であることに注意します。

$(x + (3y+1))(x + (y+1)) = x^2 + (3y+1)x + (y+1)x + (3y+1)(y+1) = x^2 + (4y+2)x + 3y^2 + 4y + 1$

したがって、与えられた多項式は $(x + 3y + 1)(x + y + 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 3y + 1)(x + y + 1)$