次の行列式を因数分解してください。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

次の行列式を因数分解してください。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & a & a^2 & a^3 \\

1 & b & b^2 & b^3 \\

1 & c & c^2 & c^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、行列の操作を行います。第2行から第1行を、第3行から第1行を、第4行から第1行を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\

0 & b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\

0 & c-1 & c^2-1 & c^3-1

\end{vmatrix}

$$

次に、第1列について余因子展開します。

$$

\begin{vmatrix}

a-1 & a^2-1 & a^3-1 \\

b-1 & b^2-1 & b^3-1 \\

c-1 & c^2-1 & c^3-1

\end{vmatrix}

$$

因数分解を利用して、各列から共通因数をくくり出します。

$$

\begin{vmatrix}

a-1 & (a-1)(a+1) & (a-1)(a^2+a+1) \\

b-1 & (b-1)(b+1) & (b-1)(b^2+b+1) \\

c-1 & (c-1)(c+1) & (c-1)(c^2+c+1)

\end{vmatrix}

$$

$(a-1)(b-1)(c-1)$ を行列の外に出します。

$$

(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

1 & b+1 & b^2+b+1 \\

1 & c+1 & c^2+c+1

\end{vmatrix}

$$

次に、第2行から第1行を、第3行から第1行を引きます。

$$

(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

0 & b-a & b^2+b+1-(a^2+a+1) \\

0 & c-a & c^2+c+1-(a^2+a+1)

\end{vmatrix}

$$

$$

(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

0 & b-a & b^2 - a^2 + b - a \\

0 & c-a & c^2 - a^2 + c - a

\end{vmatrix}

$$

$$

(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

0 & b-a & (b-a)(b+a) + (b-a) \\

0 & c-a & (c-a)(c+a) + (c-a)

\end{vmatrix}

$$

$$

(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

0 & b-a & (b-a)(b+a+1) \\

0 & c-a & (c-a)(c+a+1)

\end{vmatrix}

$$

$(b-a)(c-a)$ を行列の外に出します。

$$

(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix}

1 & a+1 & a^2+a+1 \\

0 & 1 & b+a+1 \\

0 & 1 & c+a+1

\end{vmatrix}

$$

第1列に沿って余因子展開します。

$$

(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a) \begin{vmatrix}

1 & b+a+1 \\

1 & c+a+1

\end{vmatrix}

$$

$$

(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)[(c+a+1) - (b+a+1)]

$$

$$

(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)

$$

上記の計算は、次の行列式を計算したものです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & a & a^2 \\

1 & b & b^2 \\

1 & c & c^2

\end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)

$$

したがって、元の問題の行列式は、

$(a-1)(b-1)(c-1) (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c+1)$

これはファンデルモンドの行列式に似ています。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

a & b & c & d \\

a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\

a^3 & b^3 & c^3 & d^3

\end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

$$

今回は、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & a & b & c \\

1 & a^2 & b^2 & c^2 \\

1 & a^3 & b^3 & c^3

\end{vmatrix}

$$

なので、

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

$(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)$

または、

$(a-1)(b-1)(c-1)(a-b)(a-c)(b-c)$ (符号を反転させた場合)

あるいは、以下のように書くこともできます。

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-1)(b-1)(c-1)$

あるいは、

$(1-a)(1-b)(1-c)(a-b)(a-c)(b-c)$