与えられた4x4の行列式の値を求めます。行列式は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式の値を求めます。行列式は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 5 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列式はヴァンデルモンド行列式と呼ばれる形をしています。一般に、ヴァンデルモンド行列式は以下の式で与えられます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

$$

今回の行列式では、$x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 5, x_4 = 7$なので、

行列式の値は以下のようになります。

$(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_4 - x_1)(x_3 - x_2)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3) = (2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5)$

$= (-1)(2)(4)(3)(5)(2)$

$= -1 \times 2 \times 4 \times 3 \times 5 \times 2$

$= -240$

3. 最終的な答え

-240