与えられた二つの式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(2x^2+3)^6$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める。 (2) $(x+\frac{2}{x})^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた二つの式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(2x^2+3)^6$ の展開式における $x^6$ の項の係数を求める。

(2) $(x+\frac{2}{x})^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2x^2+3)^6$ の展開式における一般項は、二項定理より

$${}_6 C_r (2x^2)^{6-r} 3^r = {}_6 C_r 2^{6-r} 3^r x^{2(6-r)}$$

$x^6$ の項の係数を求めるので、$x^{2(6-r)} = x^6$ となる $r$ を求める。

$2(6-r) = 6$ より、 $12 - 2r = 6$ なので $2r = 6$ よって $r = 3$

したがって、$x^6$ の項の係数は

$${}_6 C_3 2^{6-3} 3^3 = \frac{6!}{3!3!} \cdot 2^3 \cdot 3^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 \cdot 27 = 20 \cdot 8 \cdot 27 = 160 \cdot 27 = 4320$$

(2) $(x+\frac{2}{x})^4$ の展開式における一般項は、二項定理より

$${}_4 C_r x^{4-r} \left(\frac{2}{x}\right)^r = {}_4 C_r x^{4-r} 2^r x^{-r} = {}_4 C_r 2^r x^{4-2r}$$

$x^2$ の項の係数を求めるので、$x^{4-2r} = x^2$ となる $r$ を求める。

$4 - 2r = 2$ より、 $2r = 2$ なので $r = 1$

したがって、$x^2$ の項の係数は

$${}_4 C_1 2^1 = 4 \cdot 2 = 8$$

3. 最終的な答え

(1) 4320

(2) 8