次の計算問題を解きます。 $\left\{\left(\frac{49}{36}\right)^{\frac{3}{10}}\right\}^{-\frac{5}{3}}$

## (1)の問題

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\left\{\left(\frac{49}{36}\right)^{\frac{3}{10}}\right\}^{-\frac{5}{3}}$

2. 解き方の手順

まず、指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を使って計算を簡略化します。

$\left\{\left(\frac{49}{36}\right)^{\frac{3}{10}}\right\}^{-\frac{5}{3}} = \left(\frac{49}{36}\right)^{\frac{3}{10} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)}$

指数の部分を計算します。

$\frac{3}{10} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$

したがって、次のようになります。

$\left(\frac{49}{36}\right)^{-\frac{1}{2}}$

次に、$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$という指数法則を使って、負の指数を正の指数に変換します。

$\left(\frac{49}{36}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{36}{49}\right)^{\frac{1}{2}}$

最後に、$\frac{1}{2}$乗は平方根を意味するので、計算します。

$\left(\frac{36}{49}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{7}$

## (2)の問題

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\times \sqrt{27}\div \sqrt[6]{9}$

2. 解き方の手順

まず、各項を指数表記に変換します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{3}}} = 9^{-\frac{1}{3}} = (3^2)^{-\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{2}{3}}$

$\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$\sqrt[6]{9} = 9^{\frac{1}{6}} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$3^{-\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{3}{2}} \div 3^{\frac{1}{3}}$

次に、指数法則$a^m \times a^n = a^{m+n}$と$a^m \div a^n = a^{m-n}$を使用して計算を行います。

$3^{-\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{3}{2}} \div 3^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = 3^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{2}} = 3^{-1 + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}$

$3^{\frac{1}{2}}$は$\sqrt{3}$と同じです。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$

## (3)の問題

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\sqrt[4]{x^3y^5} \div \sqrt[8]{x^2y^6} \times \sqrt{xy}$

2. 解き方の手順

まず、各項を指数表記に変換します。

$\sqrt[4]{x^3y^5} = (x^3y^5)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[8]{x^2y^6} = (x^2y^6)^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{2}{8}}y^{\frac{6}{8}} = x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{3}{4}}$

$\sqrt{xy} = (xy)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{5}{4}} \div x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{3}{4}} \times x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

次に、指数法則$a^m \div a^n = a^{m-n}$と$a^m \times a^n = a^{m+n}$を使用して計算を行います。

$x^{\frac{3}{4}}y^{\frac{5}{4}} \div x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{3}{4}} \times x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}y^{\frac{5}{4} - \frac{3}{4} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{4} + \frac{1}{2}}y^{\frac{2}{4} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1y^1 = xy$

3. 最終的な答え

$xy$