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4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解く。 (1) 行列式 $|A|$ の値を求める。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ の (3,4) 成分を求める。

代数学行列行列式逆行列余因子
2025/7/23

1. 問題の内容

4次正方行列 A=(3−121−241−16−5−22−37−2−5)A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix} について、以下の問題を解く。
(1) 行列式 ∣A∣|A| の値を求める。
(2) 逆行列 A−1A^{-1} の (3,4) 成分を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 ∣A∣|A| の計算
行列式を直接計算するのは大変なので、行基本変形を用いて計算を簡単にする。
まず、1行目を2倍したものを3行目から引く。
A→(3−121−241−10−3−60−37−2−5)A \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix}
次に、1行目を4行目に足す。
(3−121−241−10−3−60−37−2−5)→(3−121−241−10−3−60060−4)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ -3 & 7 & -2 & -5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & -4 \end{pmatrix}
次に、2行目を32\frac{3}{2}倍したものを4行目に足す。
(3−121−241−10−3−60060−4)→(3−121−241−10−3−60003−7)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & -4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -7 \end{pmatrix}
ここで、2行目を足す変形は、行列式の値を変えない。したがって、
∣A∣=∣3−121−241−10−3−60003−7∣|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -7 \end{vmatrix}
さらに3行目を-2倍したものを4行目に足す
∣3−121−241−10−3−60003−7∣→∣3−121−241−10−3−6000−9−7∣\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -7 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -9 & -7 \end{vmatrix}
と変形しなくて良い
3行目で展開する。
∣A∣=3⋅∣41−1−3−6003−7∣|A| = 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -3 & -6 & 0 \\ 0 & 3 & -7 \end{vmatrix}
=3(4(42−0)−1(21−0)−1(−9−0))= 3(4(42-0) - 1(21 - 0) -1(-9 - 0))
=3(4(42)−21+9)= 3(4(42) - 21 + 9)
=3(168−21+9)= 3(168 - 21 + 9)
=3(156)= 3(156)
=468= 468
(2) 逆行列 A−1A^{-1} の (3,4) 成分の計算
A−1A^{-1} の (3,4) 成分は、1∣A∣C43\frac{1}{|A|} C_{43} で求められる。
ここで、C43C_{43} は AA の (4,3) 余因子であり、(−1)4+3det⁡(A34)(-1)^{4+3} \det(A_{34}) に等しい。
A34A_{34} は AA から 3行目と 4列目を取り除いた行列である。
A34=(3−11−24−1−37−5)A_{34} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -1 \\ -3 & 7 & -5 \end{pmatrix}
det⁡(A34)=3(4(−5)−(−1)(7))−(−1)((−2)(−5)−(−1)(−3))+1((−2)(7)−4(−3))\det(A_{34}) = 3(4(-5) - (-1)(7)) - (-1)((-2)(-5) - (-1)(-3)) + 1((-2)(7) - 4(-3))
=3(−20+7)+(10−3)+(−14+12)= 3(-20 + 7) + (10 - 3) + (-14 + 12)
=3(−13)+7−2= 3(-13) + 7 - 2
=−39+7−2= -39 + 7 - 2
=−34= -34
C43=(−1)4+3det⁡(A34)=(−1)(−34)=34C_{43} = (-1)^{4+3} \det(A_{34}) = (-1) (-34) = 34
したがって、逆行列の (3,4) 成分は 1∣A∣C43=34468=17234\frac{1}{|A|} C_{43} = \frac{34}{468} = \frac{17}{234}

3. 最終的な答え

(1) ∣A∣=468|A| = 468
(2) A−1A^{-1} の (3,4) 成分は 17234\frac{17}{234}

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