1辺が12cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取り、ふたのない箱を作ります。底面の正方形の1辺が6cm以上で、4個の側面の長方形の面積の和を40cm²以上にするとき、切り取る正方形の1辺の長さをどのような範囲にとればよいか求める問題です。

1. 問題の内容

1辺が12cmの正方形の厚紙の四隅から合同な正方形を切り取り、ふたのない箱を作ります。底面の正方形の1辺が6cm以上で、4個の側面の長方形の面積の和を40cm²以上にするとき、切り取る正方形の1辺の長さをどのような範囲にとればよいか求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、切り取る正方形の1辺の長さを $x$ とします。

底面の正方形の1辺の長さは $12 - 2x$ となります。

問題文より、底面の正方形の1辺が6cm以上であるため、以下の不等式が成り立ちます。

$12 - 2x \geq 6$

この不等式を解くと、

$2x \leq 6$

$x \leq 3$

次に、側面の長方形の面積の和は、4つの長方形の面積を足したものです。それぞれの長方形の面積は $x(12 - 2x)$ なので、4つの長方形の面積の和は $4x(12 - 2x)$ となります。

問題文より、側面の長方形の面積の和が40cm²以上であるため、以下の不等式が成り立ちます。

$4x(12 - 2x) \geq 40$

この不等式を解くと、

$48x - 8x^2 \geq 40$

$8x^2 - 48x + 40 \leq 0$

$x^2 - 6x + 5 \leq 0$

$(x - 1)(x - 5) \leq 0$

したがって、$1 \leq x \leq 5$

最後に、上記2つの条件を満たす範囲を求めます。

$x \leq 3$ と $1 \leq x \leq 5$ より、$1 \leq x \leq 3$

3. 最終的な答え

切り取る正方形の1辺の長さを $1cm$ 以上 $3cm$ 以下にすればよい。