(1) は、$x$ についての整式 $P$ を $2x^2 + 5$ で割ると $7x - 4$ 余り、さらに、その商を $3x^2 + 5x + 2$ で割ると $3x + 8$ 余るとき、$P$ を $3x^2 + 5x + 2$ で割った余りを求めよ。 (2) は、$x$ の多項式 $x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき、定数 $p, q$ の値を求めよ。 (3) は、$x = 2 + \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 4x + 1$ の値、および、$x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8$ の値を求めよ。 今回は、(2) の問題を解きます。

## 解答

1. 問題の内容

(1) は、$x$ についての整式 $P$ を $2x^2 + 5$ で割ると $7x - 4$ 余り、さらに、その商を $3x^2 + 5x + 2$ で割ると $3x + 8$ 余るとき、$P$ を $3x^2 + 5x + 2$ で割った余りを求めよ。

(2) は、$x$ の多項式 $x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるとき、定数 $p, q$ の値を求めよ。

(3) は、$x = 2 + \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 4x + 1$ の値、および、$x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 3x + 8$ の値を求めよ。

今回は、(2) の問題を解きます。

2. 解き方の手順

多項式 $x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるので、$x=1$ を代入すると $0$ になる。つまり、

$1^4 - p(1) + q = 0$

$1 - p + q = 0$

$q = p - 1$

よって、$x^4 - px + q = x^4 - px + p - 1$ となる。

これが $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ で割り切れるので、実際に割り算を実行する。

割り算を実行すると、余りが $(2p-6)x + (2-p)$ となる。

割り切れるということは余りが $0$ であるので、

$2p - 6 = 0$ かつ $2 - p = 0$ が成り立つ必要がある。

$2p - 6 = 0$ より、$p = 3$

$2 - p = 0$ より、$p = 2$

この2つは同時に成り立たないので、計算が間違っている。

別の解法を試す。

$x^4 - px + q$ が $(x-1)^2$ で割り切れるということは、$x^4 - px + q = (x-1)^2 Q(x)$ となる多項式 $Q(x)$ が存在するということである。

両辺を微分すると、$4x^3 - p = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2 Q'(x)$ となる。

この式に $x = 1$ を代入すると、$4(1)^3 - p = 0$ となり、$p = 4$ が得られる。

$q = p - 1$ より、$q = 4 - 1 = 3$ となる。

$p = 4$, $q = 3$ のとき、$x^4 - 4x + 3$ が $(x-1)^2$ で割り切れるかを確認する。

$x^4 - 4x + 3 = (x-1)^2 (x^2 + 2x + 3)$ となり、確かに割り切れる。

3. 最終的な答え

$p = 4$

$q = 3$