与えられた3つの行列式の値をそれぞれ計算する問題です。 (1) $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列式の値をそれぞれ計算する問題です。

(1) $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 1列目で余因子展開すると計算が楽です。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{31} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -5 & 7 \end{vmatrix}$

$3 \cdot (0 \cdot 7 - 4 \cdot (-5)) = 3 \cdot (0 + 20) = 3 \cdot 20 = 60$

(2) サラスの公式を使います。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 13 \cdot 6 + 3 \cdot (-1) \cdot 6 + 5 \cdot 8 \cdot (-9) - 5 \cdot 13 \cdot 6 - 2 \cdot (-1) \cdot (-9) - 3 \cdot 8 \cdot 6$

$= 156 - 18 - 360 - 390 - 18 - 144 = 156 - 18 - 360 - 390 - 18 - 144 = -774$

(3) 1行目の4をくくり出す、1列目の3をくくり出すと

$\begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 12 & 16 & 32 \\ -6 & 13 & 4 \\ 15 & 10 & -20 \end{vmatrix} = 4\begin{vmatrix} 12 & 16 & 8 \\ -6 & 13 & 1 \\ 15 & 10 & -5 \end{vmatrix}$

$= 4 \begin{vmatrix} 12 & 16 & 8 \\ -6 & 13 & 1 \\ 15 & 10 & -5 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 \cdot 5 \begin{vmatrix} 6 & 8 & 4 \\ -6 & 13 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 40 \begin{vmatrix} 6 & 8 & 4 \\ -6 & 13 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}$

サラスの公式を使うと

$40(6\cdot13\cdot(-1) + 8\cdot1\cdot3 + 4\cdot(-6)\cdot2 - 4\cdot13\cdot3 - 6\cdot1\cdot2 - 8\cdot(-6)\cdot(-1)) = 40(-78+24-48-156-12-48)$

$=40(-318) = -12720$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) -774

(3) -12720