各成分$a_{ij}$に対して、余因子$C_{ij}$を計算します。 余因子は、元の行列からi行とj列を取り除いた行列の行列式に$(-1)^{i+j}$を掛けたものです。 $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(-1) = 3-1 = 2$ $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (-1)(4(3) - (-1)(2)) = (-1)(12+2) = -14$ $C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(4(-1) - 1(2)) = -4-2 = -6$ $C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-1)((-2)(3) - (2)(-1)) = (-1)(-6+2) = 4$ $C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(1(3) - 2(2)) = 3-4 = -1$ $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1(-1) - (-2)(2)) = (-1)(-1+4) = -3$ $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)((-2)(-1) - (2)(1)) = 2-2 = 0$ $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1(-1) - 2(4)) = (-1)(-1-8) = 9$ $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1(1) - (-2)(4)) = 1+8 = 9$

## 問題 (1) の内容

与えられた3x3行列

$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

の余因子行列を求め、それを用いて逆行列を求めます。

## 解き方の手順

1. **余因子を計算する:**

各成分$a_{ij}$に対して、余因子$C_{ij}$を計算します。

余因子は、元の行列からi行とj列を取り除いた行列の行列式に$(-1)^{i+j}$を掛けたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(-1) = 3-1 = 2$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (-1)(4(3) - (-1)(2)) = (-1)(12+2) = -14$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(4(-1) - 1(2)) = -4-2 = -6$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-1)((-2)(3) - (2)(-1)) = (-1)(-6+2) = 4$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(1(3) - 2(2)) = 3-4 = -1$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1(-1) - (-2)(2)) = (-1)(-1+4) = -3$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)((-2)(-1) - (2)(1)) = 2-2 = 0$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(1(-1) - 2(4)) = (-1)(-1-8) = 9$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1(1) - (-2)(4)) = 1+8 = 9$

2. **余因子行列を作成する:**

計算した余因子を並べて余因子行列$C$を作成します。

$C = \begin{bmatrix} 2 & -14 & -6 \\ 4 & -1 & -3 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}$

3. **余因子行列の転置行列（随伴行列）を計算する:**

余因子行列の行と列を入れ替えた転置行列$C^T$を計算します。これは随伴行列とも呼ばれます。

$C^T = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -14 & -1 & 9 \\ -6 & -3 & 9 \end{bmatrix}$

4. **行列式を計算する:**

元の行列Aの行列式$det(A)$を計算します。

$det(A) = 1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(3-1) + 2(12+2) + 2(-4-2) = 2 + 28 - 12 = 18$

5. **逆行列を計算する:**

逆行列$A^{-1}$は、随伴行列を行列式で割ったものです。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = \frac{1}{18} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -14 & -1 & 9 \\ -6 & -3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ -\frac{7}{9} & -\frac{1}{18} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

## 最終的な答え

余因子行列:

$\begin{bmatrix} 2 & -14 & -6 \\ 4 & -1 & -3 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}$

逆行列:

$\begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ -\frac{7}{9} & -\frac{1}{18} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$