連立方程式 $\begin{cases} 2x+ay=1 \\ 5x+y=3 \end{cases}$ の解が $\begin{cases} x-2y=5 \\ 3x+by=4 \end{cases}$ と同じであるとき、$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

2x+ay=1 \\

5x+y=3

\end{cases}$

の解が

$\begin{cases}

x-2y=5 \\

3x+by=4

\end{cases}$

と同じであるとき、$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式$\begin{cases} x-2y=5 \\ 3x+by=4 \end{cases}$の解である $(x,y)=(1, -2)$ を $x-2y=5$ に代入して解を確認する。

$1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5$ なので、$(1, -2)$は$x-2y=5$の解である。

$(x,y)=(1,-2)$を$3x+by=4$に代入して、$b$を求める。

$3(1) + b(-2) = 4$

$3 - 2b = 4$

$-2b = 4 - 3$

$-2b = 1$

$b = -\frac{1}{2}$

次に、$(x,y) = (1, -2)$ を連立方程式$\begin{cases} 2x+ay=1 \\ 5x+y=3 \end{cases}$に代入して、$a$を求める。

$2(1) + a(-2) = 1$

$2 - 2a = 1$

$-2a = 1 - 2$

$-2a = -1$

$a = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}$