次の4つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2 - 4x + 3 > 0$ (2) $-x^2 + 2x + 1 \geq 0$ (3) $x^2 - 4x + 4 \leq 0$ (4) $x^2 + x + 1 > 0$

1. 問題の内容

次の4つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2 - 4x + 3 > 0$

(2) $-x^2 + 2x + 1 \geq 0$

(3) $x^2 - 4x + 4 \leq 0$

(4) $x^2 + x + 1 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 3 > 0$

因数分解すると、$(x - 1)(x - 3) > 0$。

したがって、$x < 1$ または $x > 3$。

(2) $-x^2 + 2x + 1 \geq 0$

両辺に-1をかけると、$x^2 - 2x - 1 \leq 0$。

解の公式より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。

したがって、$1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$。

(3) $x^2 - 4x + 4 \leq 0$

因数分解すると、$(x - 2)^2 \leq 0$。

$(x - 2)^2$ は常に0以上であるため、$(x - 2)^2 = 0$ となる場合のみ不等式が成立する。

したがって、$x = 2$。

(4) $x^2 + x + 1 > 0$

判別式 $D = 1 - 4 = -3 < 0$ であり、$x^2$ の係数が正であるため、すべての実数 $x$ に対して $x^2 + x + 1 > 0$ が成り立つ。

したがって、解はすべての実数。

3. 最終的な答え

(1) $x < 1$ または $x > 3$

(2) $1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$

(3) $x = 2$

(4) すべての実数