2次関数 $y = x^2 + 4x + 2m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4x + 2m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 4x + 2m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $x^2 + 4x + 2m = 0$ の実数解の個数に等しいです。

2次方程式の実数解の個数は、判別式 $D$ の符号によって決まります。

判別式 $D$ は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題の2次方程式 $x^2 + 4x + 2m = 0$ に対して、判別式 $D$ は

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 16 - 8m$ となります。

$D > 0$ のとき、2次方程式は異なる2つの実数解を持つので、共有点は2個です。

$D = 0$ のとき、2次方程式は重解を持つので、共有点は1個です。

$D < 0$ のとき、2次方程式は実数解を持たないので、共有点は0個です。

したがって、

* $16 - 8m > 0$ すなわち $m < 2$ のとき、共有点は2個

* $16 - 8m = 0$ すなわち $m = 2$ のとき、共有点は1個

* $16 - 8m < 0$ すなわち $m > 2$ のとき、共有点は0個

3. 最終的な答え

$m < 2$ のとき、共有点は2個。

$m = 2$ のとき、共有点は1個。

$m > 2$ のとき、共有点は0個。