行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値に対する固有ベクトルを求める問題です。問題13-1(2)で固有値が求まっていることを前提とします。

1. 問題の内容

行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値に対する固有ベクトルを求める問題です。問題13-1(2)で固有値が求まっていることを前提とします。

2. 解き方の手順

まず、固有値 $\lambda$ を求める必要がありますが、問題文より、問題13-1(2)で求めた固有値を使うことになっているので、それらを利用します。行列 $B$ の特性方程式は、$det(B - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列です。

$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

したがって、

$det(B - \lambda I) = (3-\lambda)(1-\lambda)(3-\lambda) - 3(1-\lambda)3 = (1-\lambda)((3-\lambda)^2 - 9) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda) = (1-\lambda)\lambda(\lambda - 6) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 6$ となります。

各固有値に対して固有ベクトルを求めます。

(1) $\lambda_1 = 0$ のとき、$(B - 0I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これから、$3x + 3z = 0$ と $y = 0$ が得られます。$x = -z$ なので、$v_1 = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ -x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。$x=1$とすると、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

(2) $\lambda_2 = 1$ のとき、$(B - I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これから、$2x + 3z = 0$ と $3x + 2z = 0$ が得られます。$x=0$かつ$z=0$なので、$y$は任意の値を取ることができます。したがって、$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ となります。$y=1$とすると、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ となります。

(3) $\lambda_3 = 6$ のとき、$(B - 6I)v_3 = 0$ を満たすベクトル $v_3 = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} -3 & 0 & 3 \\ 0 & -5 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これから、$-3x + 3z = 0$ と $-5y = 0$ が得られます。$x = z$ かつ $y = 0$ なので、$v_3 = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。$x=1$とすると、固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

固有値 $\lambda = 0$ に対する固有ベクトル：$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

固有値 $\lambda = 1$ に対する固有ベクトル：$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

固有値 $\lambda = 6$ に対する固有ベクトル：$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$