(1) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) 2次関数 $y = 4x^2 - 4(k+1)x + k^2$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもつような、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるときの、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) 2次関数 $y = 4x^2 - 4(k+1)x + k^2$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもつような、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、2次方程式 $x^2 - 2x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つことである。

これは判別式 $D$ が $D > 0$ となることと同値である。

判別式 $D$ は、$D = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m$ である。

したがって、$4 - 4m > 0$ を解けばよい。

(2) 2次関数 $y = 4x^2 - 4(k+1)x + k^2$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもつ条件は、2次方程式 $4x^2 - 4(k+1)x + k^2 = 0$ が実数解を持つことである。

これは判別式 $D$ が $D \geq 0$ となることと同値である。

判別式 $D$ は、$D = (-4(k+1))^2 - 4(4)(k^2) = 16(k+1)^2 - 16k^2 = 16(k^2 + 2k + 1) - 16k^2 = 16k^2 + 32k + 16 - 16k^2 = 32k + 16$ である。

したがって、$32k + 16 \geq 0$ を解けばよい。

(1)

$4 - 4m > 0$

$-4m > -4$

$m < 1$

(2)

$32k + 16 \geq 0$

$32k \geq -16$

$k \geq -\frac{16}{32}$

$k \geq -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $m < 1$

(2) $k \geq -\frac{1}{2}$