与えられた式 $(a^2+4a)^2 - 8(a^2+4a) - 48$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a^2+4a)^2 - 8(a^2+4a) - 48$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$a^2 + 4a = X$ と置換すると、与えられた式は $X^2 - 8X - 48$ となる。

この式を因数分解する。

$X^2 - 8X - 48 = (X - 12)(X + 4)$

次に、$X$ を $a^2 + 4a$ に戻す。

$(X - 12)(X + 4) = (a^2 + 4a - 12)(a^2 + 4a + 4)$

それぞれの括弧内を因数分解する。

$a^2 + 4a - 12 = (a + 6)(a - 2)$

$a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$

したがって、

$(a^2 + 4a - 12)(a^2 + 4a + 4) = (a + 6)(a - 2)(a + 2)^2$

3. 最終的な答え

$(a + 6)(a - 2)(a + 2)^2$