与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$

1. 問題の内容

与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限が存在するためには分子も $0$ に近づく必要があります。

したがって、$1^2 + a(1) + b = 0$ より、$1+a+b = 0$。よって $b = -a-1$。

このとき、

$\frac{x^2+ax+b}{x-1} = \frac{x^2+ax-a-1}{x-1} = \frac{x^2-1+ax-a}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)+a(x-1)}{x-1} = x+1+a$

したがって、

$\lim_{x \to 1} (x+1+a) = 1+1+a = 2+a = 3$

よって、$a=1$。$b = -a-1 = -1-1 = -2$。

(2)

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x^2+4x}$ はおおよそ $x$ に等しくなります。

したがって、$a$ が $-1$ に近い値でないと、$\pm\infty$ に発散してしまいます。

$\sqrt{x^2+4x} = \sqrt{x^2+4x+4-4} = \sqrt{(x+2)^2-4} = (x+2)\sqrt{1-\frac{4}{(x+2)^2}}$

ここで、$\sqrt{x^2+4x} + ax + b$ が $x \to \infty$ で定数に収束するためには、$a=-1$ でなければなりません。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x + b) = 5$

$\sqrt{x^2+4x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+4x} - x)(\sqrt{x^2+4x} + x)}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \frac{x^2+4x - x^2}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \frac{4x}{x\sqrt{1+\frac{4}{x}} + x} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}} + 1}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{4}{2} = 2$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x + b) = 2+b = 5$

よって、$b = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=-2$

(2) $a=-1$, $b=3$