ベクトル $\vec{a} = (2, 2, 1)$ と $\vec{b} = (5, 4, 3)$ が与えられています。 これらのベクトルに垂直なベクトル $\vec{c}$ を求めます。 ただし、ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ で作られる平行四辺形の面積が、$|\vec{a} \times \vec{b}|$ であり、 ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$、そして求めるベクトル$\vec{c}$の関係が、右手系の親指、人差し指、中指に対応しており、$|\vec{a} \times \vec{b}|$ の大きさが2倍になるように $\vec{c}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 2, 1)$ と $\vec{b} = (5, 4, 3)$ が与えられています。

これらのベクトルに垂直なベクトル $\vec{c}$ を求めます。

ただし、ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ で作られる平行四辺形の面積が、$|\vec{a} \times \vec{b}|$ であり、

ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$、そして求めるベクトル$\vec{c}$の関係が、右手系の親指、人差し指、中指に対応しており、$|\vec{a} \times \vec{b}|$ の大きさが2倍になるように $\vec{c}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトル $\vec{c}$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ によって与えられます。

まず、$\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(3) - (1)(4) \\ (1)(5) - (2)(3) \\ (2)(4) - (2)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 4 \\ 5 - 6 \\ 8 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ は

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

面積が2倍になるとき、ベクトル $\vec{c}$ の大きさは元のベクトルの大きさの2倍になります。したがって、$\vec{c}$ は $\vec{a} \times \vec{b}$ の2倍です。

$\vec{c} = 2 (\vec{a} \times \vec{b}) = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$