赤球3個、白球2個、青球4個の合計9個の球を1列に並べるとき、白球が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

赤球3個、白球2個、青球4個の合計9個の球を1列に並べるとき、白球が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、白球以外の7個の球（赤球3個、青球4個）を並べる並べ方を計算する。

次に、7個の球を並べたときにできる隙間（両端を含む）8箇所から、白球を置く2箇所を選ぶ組み合わせを計算する。

最後に、それらを掛け合わせて、白球が隣り合わない並べ方の総数を求める。

ステップ1: 白球以外の7個の球を並べる。

これは同じものを含む順列の問題なので、

$\frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$ 通り

ステップ2: 白球を置く場所を選ぶ。

7個の球を並べたとき、その両端と球と球の間に隙間ができるので、合計8箇所の隙間がある。

この8箇所から2箇所を選んで白球を置く組み合わせは、

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$ 通り

ステップ3: 白球が隣り合わない並べ方の総数を求める。

ステップ1とステップ2で求めた数を掛け合わせる。

$35 \times 28 = 980$ 通り

3. 最終的な答え

980 通り