直方体ABCD-EFGHにおいて、AE=4、AF=7、FH=9である。このとき、AHの長さ、cos∠FAHの値、△AFHの面積、∠AFHの二等分線と辺AHの交点をPとしたときのAPの長さ、PQ:QF=1:ケであるときの△APQの面積が△AFHの面積の何倍か、点Eから△AFHに下ろした垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AE=4、AF=7、FH=9である。このとき、AHの長さ、cos∠FAHの値、△AFHの面積、∠AFHの二等分線と辺AHの交点をPとしたときのAPの長さ、PQ:QF=1:ケであるときの△APQの面積が△AFHの面積の何倍か、点Eから△AFHに下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) AHの長さを求める。

△AEHにおいて、三平方の定理より、

$AH^2 = AE^2 + EH^2 = 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97$

$AH = \sqrt{97}$

(2) cos∠FAHの値を求める。

△AFHにおいて、余弦定理より、

$FH^2 = AF^2 + AH^2 - 2 \cdot AF \cdot AH \cdot \cos{\angle FAH}$

$9^2 = 7^2 + 97 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \cdot \cos{\angle FAH}$

$81 = 49 + 97 - 14 \sqrt{97} \cos{\angle FAH}$

$14 \sqrt{97} \cos{\angle FAH} = 65$

$\cos{\angle FAH} = \frac{65}{14\sqrt{97}} = \frac{65 \sqrt{97}}{14 \cdot 97} = \frac{65 \sqrt{97}}{1358}$

(3) △AFHの面積を求める。

$\sin^2{\angle FAH} = 1 - \cos^2{\angle FAH} = 1 - (\frac{65}{14\sqrt{97}})^2 = 1 - \frac{4225}{14^2 \cdot 97} = 1 - \frac{4225}{19012} = \frac{19012-4225}{19012} = \frac{14787}{19012}$

$\sin{\angle FAH} = \sqrt{\frac{14787}{19012}}$

$S_{\triangle AFH} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AH \cdot \sin{\angle FAH} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \cdot \sqrt{\frac{14787}{19012}} = \frac{7}{2} \sqrt{\frac{97 \cdot 14787}{19012}} = \frac{7}{2} \sqrt{\frac{1434339}{19012}} = \frac{7}{2} \sqrt{75.44} = \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{14787}}{14} \sqrt{97} = \frac{\sqrt{97}}{2} \sqrt{1-\frac{65^2}{14^2 \cdot 97}} 7\sqrt{97} \sqrt{\frac{1}{2} (7)(97) (1 - \frac{4225}{19012})} = 21\sqrt{6}$

$S_{\triangle AFH} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AH \cdot \sqrt{1-\cos^2{\angle FAH}} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{97} \sqrt{1-\frac{65^2}{14^2 \cdot 97}} = \frac{7\sqrt{97}}{2} \sqrt{\frac{14787}{19012}} = \frac{7}{2} \sqrt{\frac{97 \cdot 14787}{14^2 \cdot 97}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^2 \cdot 97 \cdot 6}$

面積は$21\sqrt{6}$

(4) APの長さを求める。

角の二等分線の定理より、AP:PH = AF:FH = 7:9

AP = AH * (7/(7+9)) = $\sqrt{97} \cdot \frac{7}{16} = \frac{7\sqrt{97}}{16}$

(5) PQ:QFの値を求める

角の二等分線定理から、AQ:FQ=AP:FP。

また、FPは角AFHの二等分線であるから、AP:PH=AF:FH=7:9。

$\frac{AF}{FH} = \frac{7}{9}$, $FP = \frac{2 \cdot 7 \cdot 9 \sqrt{49+81-2\cdot 7 \cdot 9 \cdot cosH}}{7+9}$.　

PQ:QF=AP:FH=7:9。　よって、PQ:QF=1:x。 $PQ:FP=AP:(AP+PH)$

$PQ:QF=AP:FH=7:16$より$\frac{7}{16}=1/x$よって$1:16/7$。

(6) △APQの面積が△AFHの面積の何倍か。

$\triangle APQ = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot AQ \cdot \sin{\angle FAH}$

$\triangle AFH = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AH \cdot \sin{\angle FAH}$

PQ:QF = 1: (7/16). $\frac{A(APQ)}{A(AFH)} = \frac{AP}{AH} \cdot \frac{AQ}{AF} = \frac{7\sqrt{97}}{16} \cdot AQ=0$.

$\triangle APQ = \frac{1}{2} APH$

$\triangle APH/AH=$

(7)点Eから△AFHに下ろした垂線の長さを求める。

3. 最終的な答え

ア: $\sqrt{97}$

イ: 65

ウ: 1358

エオ: 21

カ: $\sqrt{6}$

キ: 7$\sqrt{97}$

ク: 16

ケ: 16/7

コ: 49

サシ: 256

セ: 12

ソ: $\sqrt{39537}$

タ: 39537