立方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{e_3}$とおく。$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{e_3}$を用いて表す問題である。

1. 問題の内容

立方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{e_3}$とおく。$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{e_3}$を用いて表す問題である。

2. 解き方の手順

まず$\overrightarrow{AB}$を求める。

$\overrightarrow{AB}$は$\overrightarrow{AC}$と$\overrightarrow{BC}$に分解できる。

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{e_1}$

したがって、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{e_2} - \overrightarrow{e_1}$

次に$\overrightarrow{AG}$を求める。

$\overrightarrow{AG}$は$\overrightarrow{AH}$と$\overrightarrow{HG}$に分解できる。

$\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{e_2}$

$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{e_3}$

したがって、$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{e_3} + \overrightarrow{e_2}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{e_2} - \overrightarrow{e_1}$

$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{e_2} + \overrightarrow{e_3}$