円錐の展開図が与えられており、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 中心角$\theta$を求める。 (2) 円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

円錐の展開図が与えられており、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 中心角$\theta$を求める。

(2) 円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

扇形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しい。

扇形の半径は12cm、底面の円の半径は2cmである。

扇形の弧の長さは、$2\pi \times 12 \times \frac{\theta}{360}$ と表せる。

底面の円周の長さは、$2\pi \times 2$ と表せる。

よって、

$2\pi \times 12 \times \frac{\theta}{360} = 2\pi \times 2$

これを解くと、$\theta$ が求められる。

$12 \times \frac{\theta}{360} = 2$

$\frac{\theta}{360} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$\theta = \frac{360}{6} = 60$

(2)

円錐の表面積は、扇形の面積と底面の円の面積の和で表される。

扇形の面積は、$\pi \times 12^2 \times \frac{60}{360}$

底面の円の面積は、$\pi \times 2^2$

よって、表面積は、$\pi \times 12^2 \times \frac{60}{360} + \pi \times 2^2$

扇形の面積 = $\pi \times 144 \times \frac{1}{6} = 24\pi$

底面の円の面積 = $4\pi$

表面積 = $24\pi + 4\pi = 28\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60$ 度

(2) 表面積 = $28\pi$ cm$^2$