三角形ABCにおいて、線分ABを3:1に内分する点をM、線分ACを2:1に内分する点をNとする。2つの線分BNとCMの交点をP、直線APとBCの交点をQとする。このとき、ベクトルAPとベクトルAQをベクトルABとベクトルACで表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分ABを3:1に内分する点をM、線分ACを2:1に内分する点をNとする。2つの線分BNとCMの交点をP、直線APとBCの交点をQとする。このとき、ベクトルAPとベクトルAQをベクトルABとベクトルACで表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Pは線分BNとCMの交点であるので、実数s, tを用いて、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AN}$

$\vec{AP} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AM}$

と表せる。

$\vec{AN} = \frac{2}{3}\vec{AC}$, $\vec{AM} = \frac{3}{4}\vec{AB}$を代入すると、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + \frac{2s}{3}\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{3t}{4}\vec{AB} + (1-t)\vec{AC}$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{4}$

$\frac{2s}{3} = 1-t$

これを解くと、$s=\frac{9}{17}$, $t=\frac{28}{17}$

よって、

$\vec{AP} = (1-\frac{9}{17})\vec{AB} + \frac{2}{3}\times\frac{9}{17}\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{8}{17}\vec{AB} + \frac{6}{17}\vec{AC}$

(2) 点Qは直線APと直線BCの交点であるので、実数kを用いて、

$\vec{AQ} = k\vec{AP} = \frac{8k}{17}\vec{AB} + \frac{6k}{17}\vec{AC}$

また、点Qは直線BC上にあるので、実数lを用いて、

$\vec{AQ} = (1-l)\vec{AB} + l\vec{AC}$

よって、

$\frac{8k}{17} = 1-l$

$\frac{6k}{17} = l$

これを解くと、$k = \frac{17}{14}$, $l = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$

よって、

$\vec{AQ} = \frac{17}{14}\vec{AP} = \frac{17}{14}(\frac{8}{17}\vec{AB} + \frac{6}{17}\vec{AC})$

$\vec{AQ} = \frac{4}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{8}{17}\vec{AB} + \frac{6}{17}\vec{AC}$

(2) $\vec{AQ} = \frac{4}{7}\vec{AB} + \frac{3}{7}\vec{AC}$