一辺の長さが2cmの正五角形から一部切り取られた図形において、$x$ の値を求める問題です。ただし、相似を利用して解く必要があります。

1. 問題の内容

一辺の長さが2cmの正五角形から一部切り取られた図形において、$x$ の値を求める問題です。ただし、相似を利用して解く必要があります。

2. 解き方の手順

正五角形の対角線を引くと、黄金比が現れます。

まず、正五角形の一つの内角の大きさは、$(5-2) \times 180^\circ / 5 = 108^\circ$ です。

正五角形の対角線を引くと、いくつかの二等辺三角形ができます。

図において、2cmの辺を持つ正五角形から、上に小さな正五角形を切り取ったような図形を考えます。

切り取られた小さな正五角形もまた正五角形であるため、元の正五角形と相似です。

このことから、全体の図形は、正五角形の中に正五角形が相似な形で含まれていると考えることができます。

正五角形の対角線の長さは、一辺の長さを $a$ とすると、$a \phi$ (ただし $\phi$ は黄金比)で表されます。ここで、$\phi = (1 + \sqrt{5})/2$ です。

大きな正五角形の一辺の長さを $x$ とすると、小さな正五角形の一辺の長さは2cmです。

大きな正五角形の対角線と、小さな正五角形の対角線で、相似の関係が作れます。

大きな正五角形の一部（対角線で切り取られた三角形）を考えると、その三角形は二等辺三角形であり、底角は $(180^\circ - 36^\circ) / 2 = 72^\circ$ になります。

また、頂角は $36^\circ$です。

この三角形において、底辺の長さは $x$ であり、等しい二辺の長さは正五角形の対角線の一部（$x - 2$）です。

大きな正五角形において、一つの頂点から引かれた対角線によってできる三角形を考えます。その三角形は二等辺三角形であり、底角は $(180 - 36) / 2 = 72$ 度です。頂角は36度です。底辺の長さは $x$ で、等しい二辺の長さは $x$ の正五角形の対角線の長さの一部（$x-2$）になります。

ここで、黄金比を考慮すると、大きな正五角形の一辺の長さ $x$ と、小さな正五角形の一辺の長さ2の関係は、$x / 2 = (1 + \sqrt{5}) / 2$の関係になります。

したがって、$x = 2 \times ((1 + \sqrt{5})/2) = 1 + \sqrt{5}$ となります。

しかし、これは図形の構成と異なります。

正五角形の相似な関係から、$x$ は大きな正五角形の一辺の長さに対応します。

そして、$x$ と 2 の比は黄金比になります。つまり、$x / 2 = (1 + \sqrt{5}) / 2$ となります。

これから、$x = (1 + \sqrt{5})$ です。

3. 最終的な答え

$x = 1 + \sqrt{5}$

または

$x \approx 3.236$