一辺の長さが2cmの正五角形の上部を切り取った図において、残った図形の指定された辺の長さ $x$ を求める問題です。ただし、中学生にもわかるように説明する必要があります。

1. 問題の内容

一辺の長さが2cmの正五角形の上部を切り取った図において、残った図形の指定された辺の長さ $x$ を求める問題です。ただし、中学生にもわかるように説明する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、正五角形の一つの内角の大きさを求めます。正五角形の内角の和は $(5-2) \times 180 = 540$ 度なので、一つの内角は $540 / 5 = 108$ 度です。

次に、図の上部の二等辺三角形の頂角を考えます。正五角形の一つの内角が108度なので、二等辺三角形の底角は $(180 - 108) / 2 = 36$ 度です。したがって、頂角は $180 - 36 - 36 = 108$度です。二等辺三角形の二つの辺の長さは2cmです。

ここで、残った図形が等脚台形であることに気づきます。等脚台形の上の辺の長さが2cm、斜めの辺の長さが2cm、下の辺の長さが $x$ cmです。

等脚台形の高さ（垂直な線）を引くと、下の辺は $2 + 2\cos(72^{\circ}) + 2\cos(72^{\circ})$ となります。

ここで、$\cos(72^{\circ}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ を使うと、$x = 2 + 4\cos(72^{\circ}) = 2 + 4\frac{\sqrt{5} - 1}{4} = 2 + \sqrt{5} - 1 = 1 + \sqrt{5}$ cmとなります。

$72^{\circ}$ の余弦を求める別解として、黄金比 $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ を用いて、$\cos(72^{\circ}) = \frac{1}{2\phi}$ を利用することができます。

上記の $\phi$ を使用すると、$\frac{1}{2\phi} = \frac{2}{2(1 + \sqrt{5})} = \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$ となり、$\frac{1}{1 + \sqrt{5}}$を有利化することで、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ を導くことができます。

3. 最終的な答え

$x = 1 + \sqrt{5}$ cm