直線 $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + 3$ と $\frac{\pi}{4}$ の角をなし、傾きが0より大きく点 $(1, 1)$ を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + 3$ と $\frac{\pi}{4}$ の角をなし、傾きが0より大きく点 $(1, 1)$ を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを $m_1$ とすると、 $m_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

求める直線の傾きを $m$ とし、2つの直線がなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta = \left|\frac{m - m_1}{1 + mm_1}\right|$ が成り立つ。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であるから、

$1 = \left|\frac{m - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + m(-\frac{\sqrt{3}}{2})}\right| = \left|\frac{m + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}m}\right|$ となる。

絶対値を外すと、

$\frac{m + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}m} = \pm 1$ となる。

(i) $\frac{m + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}m} = 1$ の場合:

$m + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}m$

$m + \frac{\sqrt{3}}{2}m = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$m(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$m = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4 - 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 7 - 4\sqrt{3}$

(ii) $\frac{m + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}m} = -1$ の場合:

$m + \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}m$

$m - \frac{\sqrt{3}}{2}m = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$m(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$m = \frac{-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = -\frac{(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = -\frac{4 + 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = -(7 + 4\sqrt{3})$

問題文より、傾きは0より大きいので、$m = 7 - 4\sqrt{3}$ である。

点 $(1, 1)$ を通る直線の式は、$y - 1 = (7 - 4\sqrt{3})(x - 1)$ より、

$y = (7 - 4\sqrt{3})x - (7 - 4\sqrt{3}) + 1$

$y = (7 - 4\sqrt{3})x - 6 + 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$y = (7 - 4\sqrt{3})x - 6 + 4\sqrt{3}$