空間内の2点A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0)を通る直線lに、点C(2, 3, 3)から下ろした垂線の足Hの座標を求める。

1. 問題の内容

空間内の2点A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0)を通る直線lに、点C(2, 3, 3)から下ろした垂線の足Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線lの方向ベクトルを求める。

直線lの方向ベクトル $\vec{d}$ は、$\vec{AB}$で与えられる。

$\vec{d} = \vec{AB} = B - A = (-1 - (-3), 0 - (-1), 0 - 1) = (2, 1, -1)$

ステップ2: 直線lのベクトル方程式を求める。

直線lのベクトル方程式は、点Bを通り方向ベクトル$\vec{d}$を持つとして、次のように表される。

$\vec{p} = \vec{OB} + t\vec{d} = (-1, 0, 0) + t(2, 1, -1) = (-1 + 2t, t, -t)$

ここで、$\vec{p}$は直線l上の任意の点の位置ベクトルであり、$t$は実数である。

したがって、点Hの座標は$H(-1+2t, t, -t)$と表せる。

ステップ3: ベクトル$\vec{CH}$を求める。

$\vec{CH} = H - C = (-1 + 2t - 2, t - 3, -t - 3) = (2t - 3, t - 3, -t - 3)$

ステップ4: $\vec{CH}$が$\vec{d}$と直交することを利用して、$t$の値を求める。

$\vec{CH} \perp \vec{d}$であるから、内積$\vec{CH} \cdot \vec{d} = 0$となる。

$(2t - 3, t - 3, -t - 3) \cdot (2, 1, -1) = 0$

$2(2t - 3) + 1(t - 3) - 1(-t - 3) = 0$

$4t - 6 + t - 3 + t + 3 = 0$

$6t - 6 = 0$

$6t = 6$

$t = 1$

ステップ5: 点Hの座標を求める。

$H(-1 + 2(1), 1, -1) = H(1, 1, -1)$

3. 最終的な答え

H(1, 1, -1)